Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
МатематикаВопрос:
Задание 7. У Семена есть четыре патрона. Семен стреляет по мишени до тех пор, пока не попадет, либо пока не закончатся патроны. Вероятность того, что Семен попадет в мишень при каждом отдельном выстреле, равна 2/3. Найдите ряд распределения случайной величины Х - количества патронов, которые Семен не израсходовал.
Ответ:
Краткое пояснение:
Логика решения: Случайная величина X обозначает количество неиспользованных патронов. Семен имеет 4 патрона. Он стреляет до первого попадания или пока патроны не закончатся. Вероятность попадания в каждом выстреле равна 2/3, следовательно, вероятность промаха равна 1 - 2/3 = 1/3.
Пошаговое решение:
Рассмотрим возможные сценарии и соответствующее значение X:
- Сценарий 1: Семен попадает с первого выстрела.
Вероятность этого события: $$ P(X=3) = \frac{2}{3} $$. В этом случае израсходовано 1 патрон, осталось 4 - 1 = 3 патрона. - Сценарий 2: Семен промахивается один раз, а затем попадает.
Вероятность этого события: $$ P(X=2) = \frac{1}{3} \times \frac{2}{3} = \frac{2}{9} $$. В этом случае израсходовано 2 патрона, осталось 4 - 2 = 2 патрона. - Сценарий 3: Семен промахивается два раза, а затем попадает.
Вероятность этого события: $$ P(X=1) = (\frac{1}{3})^2 \times \frac{2}{3} = \frac{1}{9} \times \frac{2}{3} = \frac{2}{27} $$. В этом случае израсходовано 3 патрона, осталось 4 - 3 = 1 патрон. - Сценарий 4: Семен промахивается три раза, а затем попадает.
Вероятность этого события: $$ P(X=0) = (\frac{1}{3})^3 \times \frac{2}{3} = \frac{1}{27} \times \frac{2}{3} = \frac{2}{81} $$. В этом случае израсходовано 4 патрона, осталось 4 - 4 = 0 патронов. - Сценарий 5: Семен промахивается все четыре раза.
Вероятность этого события: $$ P(X=0) = (\frac{1}{3})^4 = \frac{1}{81} $$. В этом случае израсходовано 4 патрона, осталось 4 - 4 = 0 патронов.
Примечание: В сценариях 4 и 5 значение X равно 0. Поэтому, чтобы найти общее распределение, мы суммируем вероятности для X=0:
- $$ P(X=0) = P( ext{промах 3 раза, потом попадание}) + P( ext{промах 4 раза}) $$
- $$ P(X=0) = \frac{2}{81} + \frac{1}{81} = \frac{3}{81} = \frac{1}{27} $$
Ряд распределения случайной величины X:
| X (количество неизрасходованных патронов) | 0 | 1 | 2 | 3 |
| P(X) (вероятность) | $$ \frac{1}{27} $$ | $$ \frac{2}{27} $$ | $$ \frac{2}{9} $$ | $$ \frac{2}{3} $$ |
Проверка: Сумма вероятностей должна быть равна 1.
$$ \frac{1}{27} + \frac{2}{27} + \frac{2}{9} + \frac{2}{3} = \frac{1}{27} + \frac{2}{27} + \frac{6}{27} + \frac{18}{27} = \frac{1+2+6+18}{27} = \frac{27}{27} = 1 $$.
Ответ: Ряд распределения случайной величины X:
- $$ X=0 $$ с вероятностью $$ \frac{1}{27} $$
- $$ X=1 $$ с вероятностью $$ \frac{2}{27} $$
- $$ X=2 $$ с вероятностью $$ \frac{2}{9} $$
- $$ X=3 $$ с вероятностью $$ \frac{2}{3} $$
