Ответ:

  1. ПОДЫТОЖИТЬ — верно: после русской приставки под-, оканчивающейся на согласный, пишется Ы.
  2. СВЕРХИЗЫСКАННЫЙ — неверно: сверх- — русская приставка-исключение, после неё сохраняется И; кроме того, приставка не является иноязычной.
  3. БЕЗЫНИЦИАТИВНЫЙ — верно: после русской приставки без- пишется Ы.
  4. ПОДЫСКИВАТЬ — верно: после русской приставки под- пишется Ы.
  5. СУПЕРИГРА — верно: после иноязычной приставки супер- сохраняется И.
  6. ПЕДИНСТИТУТ — неверно: в этом сложном слове И находится в начале второго корня, а не после приставки.
  7. НАИГРАЛСЯ — верно: после приставки на-, оканчивающейся на гласную, пишется И.

Ответ: 1, 3, 4, 5, 7.