Задание №7. В равнобедренной трапеции MNCD с большим основанием MD диагональ MC перпендикулярна к боковой стороне CD. Найдите MD, если NC = 5 см, а ∠D = 60°.

Обозначим боковую сторону CD через s. Угол D равен 60°, поэтому горизонтальная проекция CD на основание MD равна s cos 60° = s/2.

Поскольку трапеция равнобедренная, проекция каждой боковой стороны на большее основание одинакова. Значит, MD = NC + 2 · (s/2) = 5 + s.

Высота трапеции равна s sin 60° = √3s/2. Из условия MC ⟂ CD следует, что горизонтальная проекция диагонали MC на направление CD равна нулю. В координатах с D = (0, 0), M = (MD, 0), C = (MD − s/2, √3s/2):

(C − M) · (C − D) = (−s/2)(MD − s/2) + (√3s/2)² = 0.

Отсюда −s·MD/2 + s²/4 + 3s²/4 = 0, то есть MD = 2s. Совместно с MD = 5 + s получаем 2s = 5 + s, поэтому s = 5 и MD = 10.

Ответ: 10 см.