Задание 7. В треугольнике ABC (BC > AB) проведена биссектриса BL. Пусть D — точка, симметричная точке A относительно прямой BL. Прямая, проходящая через точку D параллельно BL, пересекает сторону AC в точке E. Найдите отношение AB : BC, если CE : EA = 1 : 8.

Обозначим через \(\theta\) половину угла B. Поскольку BL — биссектриса, стороны BA и BC образуют с BL равные углы.

1. Пусть \(AB=c\), \(BC=a\). Если направить ось вдоль BL, перпендикулярные расстояния от A и C до BL равны соответственно \(c\sin\theta\) и \(a\sin\theta\), но лежат по разные стороны от BL.
2. По условию \(CE:EA=1:8\), поэтому E делит AC в отношении 1:8 от C к A. Его перпендикулярная координата относительно BL равна \(\frac{c-8a}{9}\sin\theta\).
3. Точка D — отражение A относительно BL, а DE параллельна BL. Значит, E и D имеют одинаковые перпендикулярные координаты, то есть \(\frac{c-8a}{9}\sin\theta=-c\sin\theta\).
4. Так как \(\sin\theta\ne0\), получаем \(c-8a=-9c\), откуда \(10c=8a\) и \(c:a=4:5\).

Ответ: \(AB:BC=4:5\).