Задание №7. В треугольнике ABC известно, что AC = BC, AB = 4√5 и высота AH = 4. Найдите tg(∠BAC).

Так как AH — высота, то треугольник ABH прямоугольный:

\(BH=\sqrt{AB^2-AH^2}=\sqrt{(4\sqrt5)^2-4^2}=\sqrt{80-16}=8\).

Обозначим \(BC=AC=x\). Тогда \(HC=BH-BC=8-x\). В прямоугольном треугольнике AHC:

\(AC^2=AH^2+HC^2\).

\(x^2=4^2+(8-x)^2\), откуда \(x=5\). Следовательно, \(AC=BC=5\).

По теореме косинусов для угла BAC:

\(\cos\angle BAC=\dfrac{AB^2+AC^2-BC^2}{2\cdot AB\cdot AC}=\dfrac{80+25-25}{2\cdot4\sqrt5\cdot5}=\dfrac2{\sqrt5}\).

Тогда \(\sin\angle BAC=\dfrac1{\sqrt5}\), и

\(\operatorname{tg}\angle BAC=\dfrac{\sin\angle BAC}{\cos\angle BAC}=\dfrac{1/\sqrt5}{2/\sqrt5}=\dfrac12\).

Ответ: \(\dfrac12\).