Задание 7. В треугольнике ABC угол ∠BAC = 41°. На стороне AC выбрана точка D, отличная от C, так, что BD = BC. На стороне AB выбрана точка E, отличная от B, так, что CE = CB. Отрезки BD и CE пересекаются в точке P. Найдите угол ∠BPC. Ответ выразите в градусах.

1. Так как BD = BC, треугольник BDC равнобедренный, поэтому ∠BDC = ∠BCD. Поскольку D лежит на AC, ∠BCD = ∠BCA. Обозначим ∠BCA = C. Тогда ∠BDC = C, а ∠DBC = 180° − 2C.
2. В треугольнике ABD: ∠BAD = 41°, ∠ADB = 180° − C. Поэтому ∠ABD = 180° − 41° − (180° − C) = C − 41°. Так как D лежит на AC, ∠ABD = ∠ABC, значит ∠ABC = C − 41°.
3. Обозначим ∠ABC = B. Тогда B + C = 180° − 41° = 139°.
4. Из BD = BC следует ∠PBC = ∠DBC = 180° − 2C. Из CE = CB следует, что треугольник CBE равнобедренный; поскольку P лежит на CE, ∠BCP = ∠BCE = 180° − 2B.
5. По сумме углов треугольника BPC: ∠BPC = 180° − (180° − 2C) − (180° − 2B) = 2(B + C) − 180° = 2 · 139° − 180° = 98°.

Ответ: 98°.