Задание 7. Вычислите, представив каждую дробь в виде полуразности: \(\frac{1}{21\cdot23}+\frac{1}{23\cdot25}+\frac{1}{25\cdot27}+\frac{1}{27\cdot29}\).

Используем тождество \(\frac{1}{n(n+2)}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}\right)\).

\[\frac{1}{21\cdot23}+\frac{1}{23\cdot25}+\frac{1}{25\cdot27}+\frac{1}{27\cdot29}=\frac12\left(\frac1{21}-\frac1{23}+\frac1{23}-\frac1{25}+\frac1{25}-\frac1{27}+\frac1{27}-\frac1{29}\right)=\frac12\left(\frac1{21}-\frac1{29}\right)=\frac12\cdot\frac8{609}=\frac4{609}.\]

Ответ: \(\frac{4}{609}\).