Задание 79. Найдите углы x и y, используя данные рисунка: 1) вписанный четырёхугольник ABCD: ∠A = 60°, ∠B = 85°, ∠C = y, ∠D = x; 2) вписанный четырёхугольник ABCD: ∠B = 77°, ∠C = 82°, ∠A = x, ∠D = y; 3) вписанный четырёхугольник ABCD: ∠C = 146°, ∠D = 68°, ∠A = x, ∠B = y; 4) вписанный четырёхугольник ABCD: дуги BC = 117°, AD = 53°, CD = 41°, ∠D = x, ∠C = y; 5) вписанный четырёхугольник ABCD: дуги AB = 68°, AD = 126°, ∠D = 38°, ∠A = x, ∠B = y; 6) AC — диаметр, дуга CD = 130°, ∠BAC = x, ∠ABC = y; 7) AC — диаметр, ∠BCA = 68°, ∠BAC = x, ∠ADC = y; 8) AC — диаметр, AB = BC, ∠ACD = 35°, ∠BCA = x, ∠CAD = y; 9) BD — диаметр, AB = BO = OD, дуга BC = 44°, ∠ABD = x, ∠DBC = y.

1. В вписанном четырёхугольнике противоположные углы в сумме дают 180°.

   \(x = 180° - 85° = 95°\), \(y = 180° - 60° = 120°\).

2. Противоположные углы вписанного четырёхугольника supplementary:

   \(x = 180° - 82° = 98°\), \(y = 180° - 77° = 103°\).

3. Применяем свойство противоположных углов:

   \(x = 180° - 146° = 34°\), \(y = 180° - 68° = 112°\).

4. Сначала найдём дугу AB: \(360° - 117° - 53° - 41° = 149°\).

   Вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается. Поэтому \(x = (149° + 117°) : 2 = 133°\), а \(y = (149° + 53°) : 2 = 101°\).

5. Угол D опирается на дугу ABC, поэтому \(38° = (68° + \text{дуга }BC) : 2\), откуда дуга BC равна 8°.

   Тогда дуга CD равна \(360° - 68° - 126° - 8° = 158°\). Следовательно, \(x = (8° + 158°) : 2 = 83°\), \(y = (126° + 158°) : 2 = 142°\).

6. Так как AC — диаметр, вписанный угол \(y\), опирающийся на AC, равен 90°. Угол \(x\) опирается на дугу CD:

   \(x = 130° : 2 = 65°\), \(y = 90°\).

7. Угол ABC опирается на диаметр AC, поэтому он прямой. В треугольнике ABC: \(x = 180° - 90° - 68° = 22°\). Угол ADC также опирается на диаметр AC, значит, \(y = 90°\).

8. Поскольку AC — диаметр, \(\angle ABC = 90°\). В прямоугольном треугольнике ABC стороны AB и BC равны, поэтому его острые углы равны: \(x = 45°\).

   В треугольнике ACD угол ADC прямой, поэтому \(y = 180° - 90° - 35° = 55°\).

9. Так как BD — диаметр, \(\angle BAD = 90°\). По отметкам AB = BO = OD, поэтому BD = 2AB. В прямоугольном треугольнике ABD сторона AB составляет половину гипотенузы BD, значит, угол напротив AB равен 30°, а \(x = 60°\).

   Угол BCD опирается на диаметр BD, поэтому равен 90°. Угол BDC опирается на дугу BC, следовательно, он равен \(44° : 2 = 22°\). Тогда \(y = 180° - 90° - 22° = 68°\).

Ответ: 1) x = 95°, y = 120°; 2) x = 98°, y = 103°; 3) x = 34°, y = 112°; 4) x = 133°, y = 101°; 5) x = 83°, y = 142°; 6) x = 65°, y = 90°; 7) x = 22°, y = 90°; 8) x = 45°, y = 55°; 9) x = 60°, y = 68°.