Задание 7 Решите уравнение: log√x 15 ∙ log225 (225 / (30 - x)) = 1

Решение:

Данное уравнение: \( \log_{\sqrt{x}} 15 \cdot \log_{225} \frac{225}{30-x} = 1 \)

Приведём логарифмы к одному основанию. Используем свойство \( \log_{a^k} b = \frac{1}{k} \log_a b \) и \( \log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a} \).

Первый логарифм: \( \log_{\sqrt{x}} 15 = \log_{x^{1/2}} 15 = \frac{1}{1/2} \log_x 15 = 2 \log_x 15 \).

Второй логарифм: \( \log_{225} \frac{225}{30-x} = \log_{225} 225 - \log_{225} (30-x) = 1 - \log_{225} (30-x) \).

Подставим обратно в уравнение:

\[ 2 \log_x 15 \cdot (1 - \log_{225} (30-x)) = 1 \]

Заметим, что \( 225 = 15^2 \). Поэтому \( \log_{225} (30-x) = \log_{15^2} (30-x) = \frac{1}{2} \log_{15} (30-x) \).

Также, \( \log_x 15 = \frac{\log_{15} 15}{\log_{15} x} = \frac{1}{\log_{15} x} \).

Подставим эти преобразования:

\[ 2 \cdot \frac{1}{\log_{15} x} \cdot (1 - \frac{1}{2} \log_{15} (30-x)) = 1 \]

Обозначим \( y = \log_{15} x \) и \( z = \log_{15} (30-x) \).

\[ 2 \cdot \frac{1}{y} \cdot (1 - \frac{1}{2} z) = 1 \]

\[ \frac{2}{y} \cdot \frac{2-z}{2} = 1 \]

\[ \frac{2-z}{y} = 1 \]

\[ 2-z = y \]

\[ y + z = 2 \]

Подставим обратно обозначения:

\[ \log_{15} x + \log_{15} (30-x) = 2 \]

Используя свойство логарифма \( \log_a b + \log_a c = \log_a (b ∙ c) \):

\[ \log_{15} (x(30-x)) = 2 \]

Перейдём от логарифмического уравнения к степенному:

\[ x(30-x) = 15^2 \]

\[ 30x - x^2 = 225 \]

\[ x^2 - 30x + 225 = 0 \]

Это квадратное уравнение. Решим его с помощью дискриминанта:

\[ D = b^2 - 4ac = (-30)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 225 = 900 - 900 = 0 \]

Так как \( D = 0 \), уравнение имеет один корень:

\[ x = \frac{-b}{2a} = \frac{30}{2 \cdot 1} = 15 \]

Проверим условие существования логарифмов:

1. Основание логарифма \( \sqrt{x} \) должно быть положительным и не равным 1. \( \sqrt{15} > 0 \) и \( \sqrt{15} \neq 1 \). Условие выполнено.

2. Аргумент логарифма \( \frac{225}{30-x} \) должен быть положительным. \( \frac{225}{30-15} = \frac{225}{15} = 15 > 0 \). Условие выполнено.

3. Аргумент логарифма \( 15 \) должен быть положительным. \( 15 > 0 \). Условие выполнено.

4. Основание логарифма \( 225 \) должно быть положительным и не равным 1. \( 225 > 0 \) и \( 225 \neq 1 \). Условие выполнено.

5. Аргумент второго логарифма \( 30-x \) должен быть положительным. \( 30 - 15 = 15 > 0 \). Условие выполнено.

Ответ: x = 15.