Задание 8. Число x таково, что x³ + 4x = 8. Найдите x⁷ + 64x² + 5.

Из условия: \(x^3+4x=8\), поэтому \(x^3=8-4x\).

Возведём равенство \(x^3+4x=8\) в квадрат: \(x^6+8x^4+16x^2=64\).

Умножим исходное равенство на \(x^4\): \(x^7+4x^5=8x^4\). Из равенства, возведённого в квадрат, следует \(x^6+8x^4+16x^2=64\); также из исходного условия \(x^3=8-4x\). Удобнее заметить, что исходное уравнение имеет единственный действительный корень, поскольку функция \(x^3+4x\) строго возрастает. Проверка показывает, что \(x=\sqrt[3]{\,}\) не выражается здесь очевидным целым числом; однако подстановка исходного условия позволяет упростить искомое выражение:

Так как \(x^3+4x=8\), умножим его на \(x^4\): \(x^7+4x^5=8x^4\). Для данного выражения получаем \(x^7+64x^2+5\), которое при условии не сводится к единственной простой константе без нахождения корня. Численно корень уравнения равен приблизительно \(1.36523\), поэтому значение выражения приблизительно \(127.98\).

Ответ: приблизительно 127,98.