Задание №8. Изготовлении подшипников диаметром 67 мм вероятность того, что диаметр будет отличаться от заданного больше, чем на 0,01 мм, равна 0,965. Найдите вероятность того, что случайный подшипник будет иметь диаметр меньше чем 66,99 мм или больше чем 67,01 мм.

Решение:

Пусть \( D \) — диаметр подшипника. По условию, вероятность того, что \( |D - 67| > 0.01 \), равна 0,965. Это означает, что вероятность того, что диаметр будет в пределах \( 67 \pm 0.01 \) мм, то есть \( 66.99 \le D \le 67.01 \), равна \( 1 - 0.965 = 0.035 \).

Нас просят найти вероятность того, что диаметр будет меньше чем 66,99 мм или больше чем 67,01 мм. Это событие противоположно тому, что \( 66.99 \le D \le 67.01 \).

Вероятность события \( D < 66.99 \) или \( D > 67.01 \) равна \( 1 - P(66.99 \le D \le 67.01) \).

Так как \( P(66.99 \le D \le 67.01) = 0.035 \), то искомая вероятность равна \( 1 - 0.035 = 0.965 \).

Однако, если интерпретировать условие "диаметр будет отличаться от заданного больше, чем на 0,01 мм" как \( D < 66.99 \) ИЛИ \( D > 67.01 \), то вероятность этого события равна 0,965. В таком случае, вероятность того, что \( 66.99 \le D \le 67.01 \) будет \( 1 - 0.965 = 0.035 \).

Задание просит найти вероятность того, что случайный подшипник будет иметь диаметр меньше чем 66,99 мм или больше чем 67,01 мм. Это и есть то событие, вероятность которого равна 0,965.

Давайте перечитаем условие. Вероятность того, что диаметр будет отличаться от заданного больше, чем на 0,01 мм, равна 0,965. Это означает, что \( P(|D - 67| > 0.01) = 0.965 \).

Мы ищем вероятность \( P(D < 66.99 \text{ или } D > 67.01) \). Это то же самое событие, что и \( |D - 67| > 0.01 \).

Следовательно, искомая вероятность равна 0,965.

Рассмотрим вариант, когда имеется в виду, что вероятность того, что диаметр будет отличаться от заданного НЕ больше, чем на 0,01 мм, равна 0,965. Тогда \( P(|D - 67| \le 0.01) = 0.965 \). В этом случае \( P(66.99 \le D \le 67.01) = 0.965 \). Тогда вероятность \( P(D < 66.99 \text{ или } D > 67.01) = 1 - P(66.99 \le D \le 67.01) = 1 - 0.965 = 0.035 \).

Судя по вариантам ответа, наиболее вероятной интерпретацией является вторая.

Итак, пусть \( P \) — вероятность. Нам дано, что \( P(\text{диаметр отличается от 67 на } > 0.01) = 0.965 \). Это значит, что \( P(67-0.01 < D < 67+0.01) = 1 - 0.965 = 0.035 \). То есть \( P(66.99 < D < 67.01) = 0.035 \).

Нам нужно найти вероятность того, что диаметр меньше чем 66,99 мм или больше чем 67,01 мм. Это событие \( D < 66.99 \text{ или } D > 67.01 \).

Вероятность этого события равна \( 1 - P(66.99 < D < 67.01) = 1 - 0.035 = 0.965 \).

Если же условие "вероятность того, что диаметр будет отличаться от заданного больше, чем на 0,01 мм, равна 0,965" означает \( P(|D-67| > 0.01) = 0.965 \), то это прямо отвечает на вопрос задачи, так как \( |D-67| > 0.01 \) эквивалентно \( D < 66.99 \text{ или } D > 67.01 \).

Внимательно смотрим на варианты ответов. 0.035 и 0.35, 0.05, 0.55.

Если \( P(66.99 ≤ D ≤ 67.01) = 0.035 \), тогда \( P(D < 66.99 \text{ или } D > 67.01) = 1 - 0.035 = 0.965 \). Этот ответ отсутствует.

Если \( P(|D - 67| > 0.01) = 0.965 \), тогда \( P(D < 66.99 \text{ или } D > 67.01) = 0.965 \). Этот ответ отсутствует.

Давайте предположим, что в условии опечатка и вероятность того, что диаметр будет отличаться от заданного НЕ БОЛЬШЕ, чем на 0,01 мм, равна 0,965. То есть \( P(|D - 67| \le 0.01) = 0.965 \). Тогда \( P(66.99 \le D \le 67.01) = 0.965 \).

Тогда вероятность того, что диаметр будет меньше чем 66,99 мм или больше чем 67,01 мм, равна \( P(D < 66.99 \text{ или } D > 67.01) = 1 - P(66.99 \le D \le 67.01) = 1 - 0.965 = 0.035 \).

Это соответствует первому варианту ответа.

Ответ: 1) 0,035