Задание 8. На рисунке 7 изображены пятиугольная и четырёхугольная пирамиды. Постройте линии пересечения заданных плоскостей. Рисунок А: а) (MDE) и (MAB); б) (MDE) и (MBC); в) (MCD) и (MAE). Рисунок Б: а) (MBD) и (MAC); б) (MCK) и (MAB); в) (MCP) и (MCD).

Плоскости, заданные тремя точками, пересекаются по прямой, проходящей через две общие точки этих плоскостей. Если общей видимой точки или ребра нет, обозначим две точки пересечения прямых, лежащих в заданных плоскостях.

Рисунок А.

1. а) Плоскости (MDE) и (MAB) имеют общую точку M. Прямые DE и AB лежат соответственно в этих плоскостях и пересекаются в точке X. Следовательно, линия пересечения — MX.
2. б) Плоскости (MDE) и (MBC) имеют общую точку M. Прямая DE пересекает BC в точке Y. Поэтому линия пересечения — MY.
3. в) Плоскости (MCD) и (MAE) имеют общую точку M. Прямые CD и AE пересекаются в точке Z. Поэтому линия пересечения — MZ.

Здесь X = AB ∩ DE, Y = BC ∩ DE, Z = CD ∩ AE; если пересечение соответствующих прямых лежит вне рёбер, прямые продолжаются.

Рисунок Б.

1. а) Плоскости (MBD) и (MAC) содержат общую вершину M. Точка O = BD ∩ AC принадлежит обеим плоскостям, поэтому линия пересечения — MO.
2. б) Плоскости (MCK) и (MAB) имеют общую точку M. Точки K и C лежат в плоскости основания ABCD, поэтому прямая CK пересекает AB в точке Q. Точка Q принадлежит обеим плоскостям; линия пересечения — MQ.
3. в) Плоскости (MCP) и (MCD) имеют общие точки M и C, значит, их линия пересечения — MC.

Ответ: А: а) MX; б) MY; в) MZ. Б: а) MO; б) MQ; в) MC.