Задание 8. На рисунке изображены графики функций видов g(x)=ax+b и f(x)=k/x, пересекающиеся в точках А и В. Найдите абсциссу точки В.

Решение:

Задание 8 предлагает найти абсциссу точки В, в которой пересекаются графики функций \( y = g(x) \) и \( y = f(x) \). Функции имеют вид \( g(x) = ax + b \) (линейная функция, график — прямая) и \( f(x) = \frac{k}{x} \) (обратная пропорциональность, график — гипербола).

Рассмотрим рисунок 1. На нём изображены графики двух функций. Одна из них — гипербола \( y = f(x) \), другая — прямая \( y = g(x) \). Точка А является одной из точек пересечения. Точка В — вторая точка пересечения, которая нам нужна.

Проанализируем график на рисунке 1:

• График функции \( y = f(x) = \frac{k}{x} \) проходит через точки (1, 2) и (2, 1). Подставим эти точки в уравнение, чтобы найти \( k \):
• При \( x = 1, y = 2 \): \( 2 = \frac{k}{1} \) => \( k = 2 \).
• При \( x = 2, y = 1 \): \( 1 = \frac{k}{2} \) => \( k = 2 \).
• Таким образом, уравнение гиперболы: \( y = \frac{2}{x} \).
• График функции \( y = g(x) = ax + b \) — прямая. Она проходит через точки (-2, -1) и (0, -3). Подставим эти точки в уравнение, чтобы найти \( a \) и \( b \):
• При \( x = 0, y = -3 \): \( -3 = a \cdot 0 + b \) => \( b = -3 \).
• При \( x = -2, y = -1 \): \( -1 = a \cdot (-2) + (-3) \) => \( -1 = -2a - 3 \) => \( 2a = -2 \) => \( a = -1 \).
• Таким образом, уравнение прямой: \( y = -x - 3 \).
• Теперь найдём точки пересечения двух функций, приравняв их уравнения:

\[ \frac{2}{x} = -x - 3 \]

Умножим обе части уравнения на \( x \) (при \( x \) ≠ 0):

\[ 2 = -x^2 - 3x \]

Перенесём всё в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

\[ x^2 + 3x + 2 = 0 \]

Решим это квадратное уравнение:

\[ (x+1)(x+2) = 0 \]

Корни уравнения: \( x_1 = -1 \) и \( x_2 = -2 \).

Найдем соответствующие значения \( y \):

• При \( x = -1 \): \( y = -(-1) - 3 = 1 - 3 = -2 \). Точка пересечения: (-1, -2).
• При \( x = -2 \): \( y = -(-2) - 3 = 2 - 3 = -1 \). Точка пересечения: (-2, -1).

На рисунке точка А имеет координаты (-2, -1). Следовательно, точка В имеет координаты (-1, -2). Абсцисса точки В — это её x-координата.

Ответ: -1