Задание 8. Найдите периметр трапеции ABCD, используя данные рисунка.

Решение:

Периметр трапеции ABCD равен сумме длин всех её сторон: P = AB + BC + CD + DA.

1)

Дан прямоугольная трапеция. Стороны: AB = 4, BC = 5, CD = ?, DA = 7.

Проведем высоту из вершины B к основанию AD. Получим прямоугольник ABED и прямоугольный треугольник BEC. Тогда CD = BE, а AD = AE + ED. Так как ABED - прямоугольник, то BE = AD = 7, AE = BD = 5. В прямоугольном треугольнике BEC, по теореме Пифагора: BC² = BE² + EC². 5² = 7² + EC². EC² = 25 - 49 = -24. Данный рисунок некорректен, так как одна из сторон (BC) короче высоты (AB).

Ответ: P =

5)

Дан равнобедренная трапеция. Стороны: AB = 26, BC = 10, CD = ?, DA = 30.

Так как трапеция равнобедренная, то AB = CD. Следовательно, CD = 26.

P = AB + BC + CD + DA = 26 + 10 + 26 + 30 = 92.

Ответ: P = 92.

9)

Дан равнобедренная трапеция. Стороны: AB = 8, BC = ?, CD = ?, DA = 16.

Так как трапеция равнобедренная, то AB = CD = 8. BC = AD = 16. Это прямоугольник.

P = AB + BC + CD + DA = 8 + 16 + 8 + 16 = 48.

Ответ: P = 48.

2)

Дан прямоугольная трапеция. Стороны: AB = 17, BC = 7, CD = 15, DA = ?.

Проведем высоту из вершины C к основанию AD. Получим прямоугольник ABCK и прямоугольный треугольник CKD. Тогда AD = AK + KD. AK = BC = 7. CK = AB = 17. В прямоугольном треугольнике CKD, по теореме Пифагора: CD² = CK² + KD². 15² = 17² + KD². 225 = 289 + KD². KD² = 225 - 289 = -64. Данный рисунок некорректен, так как одна из сторон (CD) короче высоты (AB).

Ответ: P =

6)

Дан равнобедренная трапеция. Стороны: AB = ?, BC = 3, CD = 5, DA = 9.

Так как трапеция равнобедренная, то AB = CD = 5.

P = AB + BC + CD + DA = 5 + 3 + 5 + 9 = 22.

Ответ: P = 22.

10)

Дан прямоугольная трапеция. Стороны: AB = ?, BC = ?, CD = 5, DA = 3.

Проведем высоту BH из вершины B к основанию AD. Получим прямоугольник ABHC и прямоугольный треугольник BHD. Тогда BC = AH, AD = AH + HD. AB = CH. AB = 3, так как CH = AB. BC = AH = 3. HD = AD - AH = 3 - 3 = 0. Это прямоугольник.

P = AB + BC + CD + DA = 3 + 3 + 5 + 3 = 14.

Ответ: P = 14.

3)

Дан прямоугольная трапеция. Стороны: AB = 12, BC = ?, CD = 13, DA = 8.

Проведем высоту из вершины B к основанию AD. Получим прямоугольник ABCC' и прямоугольный треугольник BCC'. Тогда BC = AC' = ?, AD = AC' + C'D. C'D = AD - AC' = 8 - ?. AB = CC' = 12.

В прямоугольном треугольнике BCC', по теореме Пифагора: BC² = CC'² + C'D². BC² = 12² + (8-AC')². 13² = 12² + (8-AC')². 169 = 144 + (8-AC')². (8-AC')² = 169 - 144 = 25. 8 - AC' = 5. AC' = 3.

BC = AC' = 3.

P = AB + BC + CD + DA = 12 + 3 + 13 + 8 = 36.

Ответ: P = 36.

7)

Дан равнобедренная трапеция. Стороны: AB = 6, BC = ?, CD = 13, DA = 16.

Так как трапеция равнобедренная, то AB = CD. Но AB=6, CD=13. Данный рисунок некорректен.

Ответ: P =

11)

Дан равнобедренная трапеция. Стороны: AB = ?, BC = 6, CD = 7, DA = 9.

Проведем высоту BH из вершины B к основанию AD. Получим прямоугольник ABCH' и прямоугольный треугольник BH'D. Тогда AH' = BC = 6. HD = AD - AH' = 9 - 6 = 3. AB = CH'. В прямоугольном треугольнике BH'D, по теореме Пифагора: BD² = BH'² + H'D². CD = 7.

Дан рисунок некорректен, так как AB и CD обозначены как стороны, но также показано, что AD=9. Указаны также AH=9 и HD=4, что в сумме дает 13. Исходя из рисунка, AB = CH, BC = AH = 9. HD = 4. CD = 7. В прямоугольном треугольнике CHD: CH² + HD² = CD². CH² + 4² = 7². CH² + 16 = 49. CH² = 33. CH = \( \sqrt{33} \). AB = \( \sqrt{33} \). BC = 9.

P = AB + BC + CD + DA = \( \sqrt{33} \) + 9 + 7 + 9 = \( \sqrt{33} \) + 25.

Ответ: P = 25 + \( \sqrt{33} \).

4)

Дан равнобедренная трапеция. Стороны: AB = 10, BC = 8, CD = 17, DA = ?.

Так как трапеция равнобедренная, то AB = CD. Но AB=10, CD=17. Данный рисунок некорректен.

Ответ: P =

8)

Дан равнобедренная трапеция. Стороны: AB = 23, BC = 10, CD = 10, DA = 11.

Так как трапеция равнобедренная, то BC = CD. Но BC=10, CD=10. AB = 23, DA = 11.

P = AB + BC + CD + DA = 23 + 10 + 10 + 11 = 54.

Ответ: P = 54.

12)

Дан равнобедренная трапеция. Стороны: AB = 7, BC = ?, CD = 8, DA = 10.

Проведем высоту BH из вершины B к основанию AD. Получим прямоугольник ABCH' и прямоугольный треугольник BH'D. Тогда AH' = BC. HD = AD - AH' = 10 - BC. AB = CH' = 7. CD = 8.

В прямоугольном треугольнике CHD: CH'² + H'D² = CD². 7² + (10 - BC)² = 8². 49 + (10 - BC)² = 64. (10 - BC)² = 64 - 49 = 15. 10 - BC = \( \sqrt{15} \). BC = 10 - \( \sqrt{15} \).

P = AB + BC + CD + DA = 7 + (10 - \( \sqrt{15} \)) + 8 + 10 = 35 - \( \sqrt{15} \).

Ответ: P = 35 - \( \sqrt{15} \).