Задание 8. Производная функции Условие: Найдите производные функций: a) f(x) = 3x² + 2x - 5 б) f(x) = x³ - 4x² + x в) f(x) = (2x + 1)(x - 3)

Решение:

Для нахождения производной будем использовать основные правила дифференцирования:

• Производная степенной функции \( (x^n)' = nx^{n-1} \)
• Производная константы \( (c)' = 0 \)
• Производная суммы/разности \( (u ± v)' = u' ± v' \)
• Производная произведения \( (uv)' = u'v + uv' \)

a) \( f(x) = 3x^2 + 2x - 5 \)

Находим производную каждого члена:

• \( (3x^2)' = 3 · 2x^{2-1} = 6x \)
• \( (2x)' = 2 · 1x^{1-1} = 2x^0 = 2 \)
• \( (-5)' = 0 \)

Суммируем производные:

\( f'(x) = 6x + 2 - 0 = 6x + 2 \)

6) \( f(x) = x^3 - 4x^2 + x \)

Находим производную каждого члена:

• \( (x^3)' = 3x^{3-1} = 3x^2 \)
• \( (-4x^2)' = -4 · 2x^{2-1} = -8x \)
• \( (x)' = 1x^{1-1} = 1x^0 = 1 \)

Суммируем производные:

\( f'(x) = 3x^2 - 8x + 1 \)

в) \( f(x) = (2x + 1)(x - 3) \)

Сначала раскроем скобки, чтобы упростить функцию:

\( f(x) = 2x · x + 2x · (-3) + 1 · x + 1 · (-3) \)

\( f(x) = 2x^2 - 6x + x - 3 \)

\( f(x) = 2x^2 - 5x - 3 \)

Теперь находим производную:

• \( (2x^2)' = 2 · 2x^{2-1} = 4x \)
• \( (-5x)' = -5 · 1x^{1-1} = -5 \)
• \( (-3)' = 0 \)

Суммируем производные:

\( f'(x) = 4x - 5 - 0 = 4x - 5 \)

Ответ: a) \( f'(x) = 6x + 2 \); б) \( f'(x) = 3x^2 - 8x + 1 \); в) \( f'(x) = 4x - 5 \).