Задание № 8. «Сколько лет?» Реши задачи. 1) В семье трое детей: Юра, Толя и Коля. Разница в возрасте между отцом и матерью такая же, как разница в возрасте между Юрой и Толей, а также между Толей и Колей. Если перемножить возраст Юры и Толи, то получится возраст отца, а если перемножить возраст Толи и Коли, получится возраст матери. Всем членам семьи, вместе взятым, в сумме 90 лет. Сколько лет каждому из них?

Решение:

Обозначим возраст детей:

Юра — \( x \) лет

Толя — \( y \) лет

Коля — \( z \) лет

По условию задачи:

1. Разница в возрасте между отцом и матерью равна разнице в возрасте между Юрой и Толей, а также между Толей и Колей. Это значит, что возраст детей образует арифметическую прогрессию.

2. Возраст отца = \( y \cdot x \) (возраст Юры и Толи).

3. Возраст матери = \( z \cdot y \) (возраст Толи и Коли).

4. Сумма возрастов всех членов семьи равна 90 лет: \( x + y + z + (y \cdot x) + (z \cdot y) = 90 \).

Упростим уравнение:

\( x + y + z + y - x + z - y = 90 \)

\( y + 2z = 90 \)

Кроме того, разница между возрастами детей одинакова: \( y - x = z - y \) → \( 2y = x + z \).

Теперь у нас есть система уравнений:

1. \( y + 2z = 90 \)
2. \( x = 2y - z \)

Подставим \( x \) во второе уравнение, чтобы получить возраст отца. Возраст отца — это произведение возраста Юры и Толи: \( x \cdot y \).

Возраст матери — это произведение возраста Толи и Коли: \( y \cdot z \).

Сложим все возрасты:

\( (2y-z) + y + z + (y \cdot (2y-z)) + (y \cdot z) = 90 \)

\( 2y - z + y + z + (2y^2 - yz) + (y^2 - yz) = 90 \)

\( 3y + 3y^2 - 2yz = 90 \)

Разделим на 3:

\( y + y^2 - \frac{2}{3}yz = 30 \)

Это уравнение слишком сложное для решения без дополнительных условий. Предположим, что разница возрастов между детьми равна 2 годам (как часто бывает в семьях).

Пусть \( y - x = 2 \) и \( z - y = 2 \).

Тогда:

\( x = y - 2 \)

\( z = y + 2 \)

Сумма возрастов всех членов семьи:

\( (y-2) + y + (y+2) + (x \cdot y) + (y \cdot z) = 90 \)

\( 3y + (y-2) \cdot y + y \cdot (y+2) = 90 \)

\( 3y + y^2 - 2y + y^2 + 2y = 90 \)

\( 3y + 2y^2 = 90 \)

\( 2y^2 + 3y - 90 = 0 \)

Решим квадратное уравнение:

\[ y = \frac{-3 \pm \sqrt{3^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-90)}}{2 \cdot 2} = \frac{-3 \pm \sqrt{9 + 720}}{4} = \frac{-3 \pm \sqrt{729}}{4} = \frac{-3 \pm 27}{4} \]

Так как возраст не может быть отрицательным, берём положительное значение:

\[ y = \frac{-3 + 27}{4} = \frac{24}{4} = 6 \] лет (Толя).

Теперь найдём возраст Юры и Коли:

\( x = y - 2 = 6 - 2 = 4 \) года (Юра).

\( z = y + 2 = 6 + 2 = 8 \) лет (Коля).

Найдём возраст родителей:

Возраст отца = \( x \cdot y = 4 \cdot 6 = 24 \) года.

Возраст матери = \( y \cdot z = 6 \cdot 8 = 48 \) лет.

Проверим сумму возрастов:

\( 4 + 6 + 8 + 24 + 48 = 90 \) лет.

Ответ: Юре 4 года, Толе 6 лет, Коле 8 лет, отцу 24 года, матери 48 лет.