Задание 8. Упростите выражение для всех допустимых значений \(t\): \(\dfrac{\sin(4\pi+t)\cos(t+4\pi)\cos\left(\dfrac{\pi}{2}+t\right) g(3\pi-t)}{\sin(3\pi-t)\cos\left(\dfrac{3\pi}{2}+t\right)\ctg(4\pi+t)\sin(-3\pi+t)}\).

Используем периодичность и формулы приведения:

\(\sin(4\pi+t)=\sin t\), \(\cos(t+4\pi)=\cos t\), \(\cos\left(\dfrac{\pi}{2}+t\right)=-\sin t\), \( g(3\pi-t)=- g t\).

Для знаменателя: \(\sin(3\pi-t)=\sin t\), \(\cos\left(\dfrac{3\pi}{2}+t\right)=\sin t\), \(\ctg(4\pi+t)=\ctg t\), \(\sin(-3\pi+t)=-\sin t\).

Подставим и сократим:

\(\dfrac{\sin t\cos t(-\sin t)(- g t)}{\sin t\sin t\ctg t(-\sin t)}=\dfrac{\sin^3 t}{-\sin^2 t\cos t}=- g t\).

В исходном выражении должны быть определены тангенс и котангенс; кроме того, знаменатель не должен быть равен нулю. Поэтому необходимо \(\sin t\ne0\) и \(\cos t\ne0\), то есть \(t\ne\pi k\) и \(t\ne\dfrac{\pi}{2}+\pi k\), где \(k\in\mathbb Z\).

Ответ: \(- g t\), при \(t\ne\dfrac{\pi k}{2}\), \(k\in\mathbb Z\).