Задание №8. В параллелограмме ABCD диагонали являются биссектрисами его углов, AB = 39, AC = 72. Найдите длину диагонали BD.

Если диагонали параллелограмма являются биссектрисами его углов, то его соседние стороны равны: например, в треугольнике ABC диагональ AC делит угол A пополам, а из параллельности AB ∥ CD и BC ∥ AD следует равенство углов, откуда AB = BC. Значит, ABCD — ромб.

Диагонали ромба перпендикулярны и делятся точкой пересечения пополам. Пусть O — точка их пересечения. Тогда AO = AC / 2 = 36, AB = 39, а треугольник AOB прямоугольный.

По теореме Пифагора: BO² = AB² − AO² = 39² − 36² = 1521 − 1296 = 225, поэтому BO = 15.

Так как диагонали делятся пополам, BD = 2BO = 30.

Ответ: 30.