Задание №8. В параллелограмме KLMN со сторонами MN = 4 и LM = 5 и диагональю LN = 8 диагонали пересекаются в точке O. Найдите длину вектора \(\overrightarrow{LO}-\overrightarrow{OK}\).

Диагонали параллелограмма делятся точкой пересечения пополам. Поэтому \(\overrightarrow{LO}=\frac12\overrightarrow{LN}\), а \(\overrightarrow{OK}=\frac12\overrightarrow{MK}\).

В параллелограмме \(\overrightarrow{LN}=\overrightarrow{LK}+\overrightarrow{KN}\), и при этом \(\overrightarrow{MK}=-\overrightarrow{LM}\). Удобнее выразить разность через координаты: положим \(K=0\), \(L=a\), \(N=b\), тогда \(M=a+b\) и \(O=(a+b)/2\).

Получаем \(\overrightarrow{LO}=(b-a)/2\), \(\overrightarrow{OK}=- (a+b)/2\). Следовательно, \(\overrightarrow{LO}-\overrightarrow{OK}=b\), длина которого равна \(KN\), а в параллелограмме \(KN=LM=5\).

Ответ: 5.