Задание 8. В равнобедренном прямоугольном треугольнике ABC на гипотенузе AB отмечены точки K и L, а на катетах AC и BC отмечены точки N и M соответственно так, что KLMN — прямоугольник. Найдите стороны этого прямоугольника, если AB = 22 и KL:KN = 5:3.

Пусть стороны прямоугольника равны KL = 5x и KN = 3x.

В равнобедренном прямоугольном треугольнике высота из вершины C к гипотенузе AB равна половине гипотенузы: высота составляет 11. Расстояние между параллельными сторонами прямоугольника, лежащими на AB и параллельной ей стороне, равно KN, поэтому KN = 3x.

Из подобия треугольников, образованных прямоугольником и исходным треугольником, длина участка гипотенузы, соответствующего KL, связана с высотой прямоугольника соотношением: KL + KN = 22. Следовательно, 5x + 3x = 22, откуда x = 11/4.

Тогда KL = 55/4 = 13,75, а KN = 33/4 = 8,25.

Ответ: стороны прямоугольника равны 13,75 и 8,25.