Задание 8. В выпуклом четырёхугольнике ABCD известно, что ∠ABD = ∠ACD = 90°. Перпендикуляр к AD, проведённый из точки B, пересекает отрезок AC в точке K. Найдите длину отрезка KC, если AB = 8, AK = 4.

Так как ∠ABD = ∠ACD = 90°, точки B и C лежат на окружности с диаметром AD. Обозначим через H основание перпендикуляра из B на AD. Тогда BH ⟂ AD, а по условию BK ⟂ AD, поэтому BK ∥ DH.

В треугольнике ADH отрезок BK параллелен стороне DH, следовательно, треугольники ABK и AHD подобны. Кроме того, треугольник ABD прямоугольный, и по теореме о высоте, опущенной на гипотенузу, выполняется AB² = AD · AH.

Пусть AD = d и AH = x. Из подобия треугольников ABK и AHD и равенства AB = 8 получаем AK/AD = AB/AH, то есть 4/d = 8/x, откуда x = 2d. Но AH ≤ AD, значит здесь требуется учесть расположение: поскольку BK пересекает именно отрезок AC, точка K лежит на AC, и подобие даёт AK/AH = AB/AD. Следовательно, 4/x = 8/d, то есть x = d/2.

Теперь AB² = AD · AH даёт 64 = d · (d/2), откуда d = 8√2. Из прямоугольного треугольника ABD: BD² = AD² − AB² = 128 − 64 = 64, значит BD = 8.

В прямоугольном треугольнике ACD высота из C к гипотенузе AD также даёт AC² = AD · AH. Поэтому AC² = 64, AC = 8. Тогда KC = AC − AK = 8 − 4 = 4.

Ответ: 4.