Задание 8. Вера загадала число и сказала: «Если моё число разделить на 14, то остаток будет в 3 раза меньше, чем частное». Какое число загадала Вера, если известно, что загаданное число больше 200, но меньше 250?

Решение:

1. Обозначим загаданное число как \( N \). По условию, при делении \( N \) на 14, мы получаем некоторое частное \( q \) и остаток \( r \). По определению деления с остатком, верно следующее равенство:
   \( N = 14q + r \), где \( 0 \le r < 14 \).
2. По условию задачи, остаток \( r \) в 3 раза меньше частного \( q \). То есть:
   \( r = \frac{q}{3} \)
3. Подставим это выражение для \( r \) в первое уравнение:
   \( N = 14q + \frac{q}{3} \)
4. Приведем к общему знаменателю:
   \( N = \frac{42q + q}{3} = \frac{43q}{3} \)
5. Так как \( N \) — целое число, \( q \) должно делиться на 3. Также, из условия \( 0 \le r < 14 \), подставим \( r = \frac{q}{3} \):
   \( 0 \le \frac{q}{3} < 14 \)
   \( 0 \le q < 42 \)
6. Теперь проверим значения \( q \), которые делятся на 3, и найдем соответствующие \( N \):
   Если \( q = 3 \), то \( r = 1 \), \( N = 14 \times 3 + 1 = 42 + 1 = 43 \) (не подходит, т.к. \( N < 200 \))
   Если \( q = 30 \), то \( r = 10 \), \( N = 14 \times 30 + 10 = 420 + 10 = 430 \) (не подходит, т.к. \( N > 250 \))
   Если \( q = 24 \), то \( r = 8 \), \( N = 14 \times 24 + 8 = 336 + 8 = 344 \) (не подходит, т.к. \( N > 250 \))
   Если \( q = 21 \), то \( r = 7 \), \( N = 14 \times 21 + 7 = 294 + 7 = 301 \) (не подходит, т.к. \( N > 250 \))
   Если \( q = 18 \), то \( r = 6 \), \( N = 14 \times 18 + 6 = 252 + 6 = 258 \) (не подходит, т.к. \( N > 250 \))
   Если \( q = 15 \), то \( r = 5 \), \( N = 14 \times 15 + 5 = 210 + 5 = 215 \) (подходит, т.к. \( 200 < 215 < 250 \)).
7. Проверим остальные значения \( q \) кратные 3, чтобы убедиться, что \( N \) будет в диапазоне от 200 до 250.
   Если \( q=12 \), \( r=4 \), \( N = 14 \times 12 + 4 = 168 + 4 = 172 \) (меньше 200)

Ответ: Вера загадала число 215.