Задание 8. Вероятность того, что в какой-то день недели пойдет снег, равна 30%. Составьте закон распределения случайной величины Х – числа дней недели (пн-вс), в которые пойдет снег.

Краткое пояснение:

Чтобы составить закон распределения случайной величины, нужно определить все возможные значения, которые она может принимать, и соответствующие им вероятности. В данном случае случайная величина Х – это количество дней в неделе, когда идет снег.

Возможные значения случайной величины Х:

• В неделе 7 дней (понедельник, вторник, среда, четверг, пятница, суббота, воскресенье).
• Вероятность того, что снег пойдет в любой конкретный день, равна 30% или 0.3.
• Вероятность того, что снег не пойдет в любой конкретный день, равна 1 - 0.3 = 0.7.
• Случайная величина Х может принимать значения от 0 до 7, так как снег может не пойти ни в один день, или пойти во все 7 дней.

Закон распределения случайной величины Х:

Для каждого возможного значения Х (от 0 до 7) нужно рассчитать вероятность его наступления. Это задача на биномиальное распределение, где n = 7 (количество испытаний – дней в неделе), p = 0.3 (вероятность «успеха» – пойдет снег), q = 0.7 (вероятность «неудачи» – не пойдет снег).

Формула для биномиального распределения:

\[ P(X=k) = C_n^k \cdot p^k \cdot q^{n-k} \]

Где \( C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!} \) – число сочетаний.

Рассчитаем вероятности для каждого возможного значения X:

• X = 0: \( P(X=0) = C_7^0 \cdot (0.3)^0 \cdot (0.7)^7 = 1 \cdot 1 \cdot 0.0823543 = 0.0823543 \)
• X = 1: \( P(X=1) = C_7^1 \cdot (0.3)^1 \cdot (0.7)^6 = 7 \cdot 0.3 \cdot 0.117649 = 0.2469401 \)
• X = 2: \( P(X=2) = C_7^2 \cdot (0.3)^2 \cdot (0.7)^5 = 21 \cdot 0.09 \cdot 0.16807 = 0.3176523 \)
• X = 3: \( P(X=3) = C_7^3 \cdot (0.3)^3 \cdot (0.7)^4 = 35 \cdot 0.027 \cdot 0.2401 = 0.2268945 \)
• X = 4: \( P(X=4) = C_7^4 \cdot (0.3)^4 \cdot (0.7)^3 = 35 \cdot 0.0081 \cdot 0.343 = 0.0972405 \)
• X = 5: \( P(X=5) = C_7^5 \cdot (0.3)^5 \cdot (0.7)^2 = 21 \cdot 0.00243 \cdot 0.49 = 0.0246945 \)
• X = 6: \( P(X=6) = C_7^6 \cdot (0.3)^6 \cdot (0.7)^1 = 7 \cdot 0.000729 \cdot 0.7 = 0.0035721 \)
• X = 7: \( P(X=7) = C_7^7 \cdot (0.3)^7 \cdot (0.7)^0 = 1 \cdot 0.0002187 \cdot 1 = 0.0002187 \)

Итог: Сумма всех вероятностей должна быть равна 1 (с учетом округлений).

• 0.0823543 + 0.2469401 + 0.3176523 + 0.2268945 + 0.0972405 + 0.0246945 + 0.0035721 + 0.0002187 = 1.009567 \( ext{приближенно} \)

Закон распределения случайной величины Х:

X | 0         | 1         | 2         | 3         | 4         | 5         | 6         | 7         |   

P(X)| 0.0823543 | 0.2469401 | 0.3176523 | 0.2268945 | 0.0972405 | 0.0246945 | 0.0035721 | 0.0002187 |