Ответ:

В 1652 году патриархом стал Никон, начавший церковную реформу. Её противников называли старообрядцами; требуемый термин в единственном числе — «старообрядчество». В пропусках нужно использовать соответствующие формы этого существительного: «противников его реформ — старообрядчество» звучит грамматически неверно, тогда как правильно: «противников его реформ — старообрядцев»; «в Вологодский край старообрядчество проникло»; «пришли старообрядческие проповедники»; «старообрядческие общины появились».

Так как инструкция требует существительное в единственном числе, искомый термин — «старообрядчество». При этом некоторые пропуски в самом тексте требуют не этой формы, а однокоренных слов; переписывать их одинаково нельзя.

Ответ: старообрядчество.