Задание 9. Дан равносторонний конус (осевое сечение - равносторонний треугольник). Найдите угол развертки боковой поверхности конуса.

Дано:

• Конус равносторонний, что означает, что осевое сечение (треугольник ABC) является равносторонним.
• В равностороннем треугольнике все стороны равны, и все углы равны 60°.
• Следовательно, образующая конуса l равна диаметру основания 2R.

Найти: Угол развертки боковой поверхности конуса (угол сектора).

Решение:

Угол развертки боковой поверхности конуса (угол сектора) вычисляется по формуле:

\[ \alpha = \frac{2\pi R}{l} \cdot 180^{\circ} \text{ или } \alpha = \frac{R}{l} \cdot 360^{\circ} \]

Где:

• α - центральный угол сектора (угол развертки)
• R - радиус основания конуса
• l - образующая конуса

Так как конус равносторонний, то осевое сечение - равносторонний треугольник. Это значит, что образующая l равна диаметру основания D, а следовательно, l = 2R.

Подставляем это соотношение в формулу угла развертки:

\[ \alpha = \frac{R}{2R} \cdot 360^{\circ} \]

Упрощаем:

\[ \alpha = \frac{1}{2} \cdot 360^{\circ} \]

α = 180^{\circ}

Ответ: 180