ЗАДАНИЕ 9. На рёбрах MB, MD и BC пирамиды MABCD (рис. 8) взяты соответственно точки B₁, D₁ и P. Постройте линию пересечения плоскостей α = (AB₁P) и β = (CD₁A).

Обозначим через \(X\) точку пересечения прямых \(AP\) и \(BD\): \(X=AP\cap BD\).

1. Плоскость \(\alpha=(AB_1P)\) пересекает плоскость основания \(ABCD\) по прямой \(AP\). Поэтому \(X\in\alpha\).
2. Рассмотрим вспомогательную плоскость \((MBD)\). Она содержит точки \(B_1\) и \(D_1\), поскольку \(B_1\in MB\), \(D_1\in MD\).
3. Пересечение плоскости \(\alpha\) со вспомогательной плоскостью \((MBD)\) — прямая \(B_1X\).
4. Плоскость \(\beta=(CD_1A)\) пересекает плоскость \((MBD)\) по прямой \(DD_1\), так как точки \(D,D_1\) принадлежат обеим плоскостям.
5. Обозначим \(Q=B_1X\cap DD_1\).
6. Точка \(Q\) принадлежит обеим плоскостям \(\alpha\) и \(\beta\). Кроме того, точка \(A\) также принадлежит обеим плоскостям.

Следовательно, искомая линия пересечения плоскостей:

\[\alpha\cap\beta=AQ.\]

Ответ: искомая прямая — \(AQ\), где \(X=AP\cap BD\), а \(Q=B_1X\cap DD_1\).