Задание 9. Найдите наименьшее значение функции y = sin 2x / (sin (x + π/4)) на отрезке [0; π/2].

Решение:

Для нахождения наименьшего значения функции y = \(\frac{\sin 2x}{\sin \left(x + \frac{\pi}{4}\right)}\), на отрезке \(\[0; \frac{\pi}{2}\]\), проанализируем функцию.

1. Преобразуем числитель: \( \sin 2x = 2 \sin x \cos x \)
2. Преобразуем знаменатель: \( \sin \left(x + \frac{\pi}{4}\right) = \sin x \cos \frac{\pi}{4} + \cos x \sin \frac{\pi}{4} = \sin x \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \cos x \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2} (\sin x + \cos x) \)
3. Подставим в функцию:
   \( y = \frac{2 \sin x \cos x}{\frac{\sqrt{2}}{2} (\sin x + \cos x)} = \frac{2 \sqrt{2} \sin x \cos x}{\sin x + \cos x} \)
4. Введем замену: Пусть \( t = \sin x + \cos x \). Возведем в квадрат: \( t^2 = (\sin x + \cos x)^2 = \sin^2 x + 2 \sin x \cos x + \cos^2 x = 1 + 2 \sin x \cos x \). Отсюда \( 2 \sin x \cos x = t^2 - 1 \).
5. Подставим замену в функцию:
   \( y = \frac{\sqrt{2} (t^2 - 1)}{t} = \sqrt{2} \left(t - \frac{1}{t}\right) \)
6. Найдем диапазон значений t для отрезка \(\[0; \frac{\pi}{2}\]\):
   \( t = \sin x + \cos x = \sqrt{2} \left(\frac{1}{\sqrt{2}} \sin x + \frac{1}{\sqrt{2}} \cos x\right) = \sqrt{2} \left(\cos \frac{\pi}{4} \sin x + \sin \frac{\pi}{4} \cos x\right) = \sqrt{2} \sin \left(x + \frac{\pi}{4}\right) \)
7. На отрезке \(\[0; \frac{\pi}{2}\]\), \( x + \frac{\pi}{4} \) изменяется от \( \frac{\pi}{4} \) до \( \frac{3\pi}{4} \).
8. Значение \( \sin \left(x + \frac{\pi}{4}\right) \) на этом интервале изменяется от \( \frac{\sqrt{2}}{2} \) (при \( x = 0 \) или \( x = \frac{\pi}{2} \)) до 1 (при \( x = \frac{\pi}{4} \)).
9. Следовательно, \( t = \sqrt{2} \sin \left(x + \frac{\pi}{4}\right) \) изменяется от \( \sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 1 \) до \( \sqrt{2} \cdot 1 = \sqrt{2} \). Итак, \( t \in \[1; \sqrt{2}\] \).
10. Найдем наименьшее значение функции \( g(t) = \sqrt{2} \left(t - \frac{1}{t}\right) \) на отрезке \(\[1; \sqrt{2}\]\):
    Найдем производную \( g'(t) = \sqrt{2} \left(1 + \frac{1}{t^2}\right) \).
11. Поскольку \( t^2 > 0 \) для \( t \in \[1; \sqrt{2}\] \), то \( g'(t) > 0 \) на этом интервале. Это означает, что функция \( g(t) \) возрастает.
12. Следовательно, наименьшее значение достигается на левом конце отрезка, то есть при \( t = 1 \).
13. Вычислим значение функции при \( t = 1 \):
    \( y_{min} = \sqrt{2} \left(1 - \frac{1}{1}\right) = \sqrt{2} (1 - 1) = 0 \).

Ответ: Наименьшее значение функции равно 0.