Задание 9. Радиус основания конуса равна 5, образующая конуса 12. Найдите угол развертки боковой поверхности конуса.

Решение Задания 9:

Угол развертки боковой поверхности конуса можно найти, используя пропорцию между длиной окружности основания конуса и длиной окружности, которую образует развертка. Длина дуги развертки равна длине окружности основания конуса.

Дано:

• Радиус основания (r) = 5
• Образующая (l) = 12
• Угол развертки (α) = ?

Формула длины окружности основания:

• \[ C_{осн} = 2 \pi r \]
• \[ C_{осн} = 2 \pi (5) = 10\pi \]

Формула длины дуги сектора (развертки):

• \[ L_{дуги} = \frac{\alpha}{360^{\circ}} \times 2 \pi l \]

Длина дуги развертки равна длине окружности основания:

• \[ C_{осн} = L_{дуги} \]
• \[ 10\pi = \frac{\alpha}{360^{\circ}} \times 2 \pi (12) \]

Теперь решаем уравнение относительно α:

• \[ 10\pi = \frac{\alpha}{360^{\circ}} \times 24\pi \]

Сократим π с обеих сторон:

• \[ 10 = \frac{\alpha}{360^{\circ}} \times 24 \]

Выразим α:

• \[ \alpha = \frac{10 \times 360^{\circ}}{24} \]
• \[ \alpha = \frac{3600^{\circ}}{24} \]

Произведем деление:

• \[ \alpha = 150^{\circ} \]

Ответ: 150