Задание 9. Три прямые попарно пересекаются. Докажите, что они либо лежат в одной плоскости, либо имеют общую точку.

У двух прямых есть точка пересечения. Обозначим прямые через a, b, c и рассмотрим два случая.

1. Если все три прямые проходят через одну точку, они имеют общую точку.

2. Пусть прямые a и b пересекаются в точке O, но все три прямые не проходят через O. Так как c пересекает a и не проходит через O, точка пересечения c с a отлична от O. Следовательно, прямые a и c задают плоскость. Прямая b пересекает a в точке O, а c — в точке, отличной от O. Обе эти точки принадлежат плоскости, поэтому прямая b лежит в ней. Значит, все три прямые лежат в одной плоскости.

Ответ: три попарно пересекающиеся прямые либо имеют общую точку, либо лежат в одной плоскости.