Задание 9. В какой и пяти схем, представленных на рис. 102, напряжение и ток потребителя выражаются соответственно функциями u=112sin(wt-11°30'), i=2.8sin(wt-48°20'), и каковы параметры этой схемы?

Решение:

Для определения соответствия схемы и заданных функций напряжения \( u \) и тока \( i \), сравним их фазовые сдвиги.

Задано:

• Напряжение \( u = 112 син(фt - 11^\circ30') \)
• Ток \( i = 2.8 син(фt - 48^\circ20') \)

Фазовый сдвиг тока относительно напряжения \( Δφ = Φ_i - Φ_u \).

\( Δφ = (-48^\circ20') - (-11^\circ30') = -48^\circ20' + 11^\circ30' = -36^\circ50' \)

Так как фазовый сдвиг тока отрицательный (\( Δφ < 0 \)), ток отстает от напряжения. Это характерно для цепи, содержащей индуктивное сопротивление (индуктивность \( L \)).

Соотношение амплитуд:

\( \frac{U_m}{I_m} = \frac{112}{2.8} = 40 \) Ом

Это значение соответствует полному сопротивлению цепи \( Z \).

\( Z = √{R^2 + (X_L - X_C)^2} \)

Учитывая, что \( Δφ < 0 \), можно предположить, что \( X_C=0 \) (нет конденсатора) или \( X_L > X_C \).

Рассмотрим варианты:

1. \( R=40 \) Ом, \( x=0 \). \( Z = √{40^2 + 0^2} = 40 \) Ом. Фазовый сдвиг 0. Не подходит.
2. \( R=24 \) Ом, \( x=x_L=32 \) Ом. \( Z = √{24^2 + 32^2} = √{576 + 1024} = √{1600} = 40 \) Ом.
\( \tan Δφ = \frac{X_L - X_C}{R} = \frac{32 - 0}{24} = \frac{32}{24} = \frac{4}{3} \) \( Δφ = \text{arctg}(\frac{4}{3}) ≈ 53.13^\circ \). Фаза напряжения опережает ток. Ток отстает от напряжения на 53.13°. Не подходит.
3. \( R=32 \) Ом, \( x=X_C=24 \) Ом. \( Z = √{32^2 + (-24)^2} = √{1024 + 576} = √{1600} = 40 \) Ом.
\( \tan Δφ = \frac{X_L - X_C}{R} = \frac{0 - 24}{32} = -\frac{24}{32} = -\frac{3}{4} \) \( Δφ = \text{arctg}(-\frac{3}{4}) ≈ -36.87^\circ = -36^\circ52' \). Ток отстает от напряжения. Значение фазового сдвига очень близко к заданному (\( -36^\circ50' \)).
4. \( R=32 \) Ом, \( x=X_L=24 \) Ом. \( Z = √{32^2 + 24^2} = √{1024 + 576} = √{1600} = 40 \) Ом.
\( \tan Δφ = \frac{X_L - X_C}{R} = \frac{24 - 0}{32} = \frac{24}{32} = \frac{3}{4} \) \( Δφ = \text{arctg}(\frac{3}{4}) ≈ 36.87^\circ = 36^\circ52' \). Напряжение опережает ток. Не подходит.
5. \( R=0 \), \( x=X_C=40 \) Ом. \( Z = √{0^2 + (-40)^2} = 40 \) Ом. Фазовый сдвиг -90°. Не подходит.

Схема №3 подходит по всем параметрам.

Параметры схемы №3:

• Сопротивление \( R = 32 \) Ом.
• Емкостное сопротивление \( X_C = 24 \) Ом.
• Индуктивное сопротивление \( X_L = 0 \) (так как в схеме конденсатор, а не катушка индуктивности).
• Полное сопротивление \( Z = 40 \) Ом.
• Фазовый сдвиг тока отстает от напряжения на \( 36^\circ52' \) (близко к \( 36^\circ50' \)).

Ответ: схема №3. Параметры: R=32 Ом, X_C=24 Ом.