Задание 9. В трапеции ABCD с основаниями AD = 18 и BC = 12 найдите отрезки, на которые диагонали делят среднюю линию.

Обозначим через M и N середины боковых сторон AB и CD. MN — средняя линия трапеции. Пусть диагонали AC и BD пересекают MN соответственно в точках P и Q.

Поскольку MN параллельна основаниям, в треугольнике ABC прямая через середину AB, параллельная BC, пересекает AC в её середине. Поэтому P — середина AC и MP = BC ÷ 2 = 6.

Аналогично, в треугольнике ABD точка Q — середина BD, поэтому MQ = AD ÷ 2 = 9. При порядке точек M–P–Q–N получаем PQ = MQ − MP = 9 − 6 = 3. Кроме того, средняя линия трапеции равна (AD + BC) ÷ 2 = 15, откуда QN = 15 − 6 − 3 = 6.

Ответ: диагонали делят среднюю линию на отрезки 6, 3 и 6.