Задание 9. В треугольнике ABC известно, что AB = 7, BC = 8, AC = 9. Из точки B опустили перпендикуляры BP и BQ на внутренние биссектрисы углов A и C соответственно. Найдите отрезок PQ.

Введём координаты: пусть A = (0, 0), C = (9, 0), B = (x, y).

1. Из условий AB = 7 и BC = 8 получаем: \(x^2+y^2=49\), \((x-9)^2+y^2=64\). Вычитая первое равенство из второго, находим \(x=\frac{11}{3}\), а затем \(y=\frac{8\sqrt{5}}{3}\). Поэтому B = \(\left(\frac{11}{3},\frac{8\sqrt{5}}{3}\right)\).

2. Направляющий вектор биссектрисы угла A пропорционален сумме единичных векторов вдоль AB и AC, то есть \((4,\sqrt{5})\). Проекция B на эту биссектрису имеет координаты \(P=\frac{B\cdot(4,\sqrt{5})}{(4,\sqrt{5})\cdot(4,\sqrt{5})}(4,\sqrt{5})=\left(\frac{16}{3},\frac{4\sqrt{5}}{3}\right)\).

3. Направляющий вектор биссектрисы угла C пропорционален сумме единичных векторов вдоль CB и CA, то есть \((-5,\sqrt{5})\). Поскольку C = (9, 0), проекция B на эту биссектрису равна \(Q=C+\frac{(B-C)\cdot(-5,\sqrt{5})}{(-5,\sqrt{5})\cdot(-5,\sqrt{5})}(-5,\sqrt{5})=\left(\frac{7}{3},\frac{4\sqrt{5}}{3}\right)\).

4. Точки P и Q имеют одинаковую ординату, поэтому \(PQ=\left|\frac{16}{3}-\frac{7}{3}\right|=3\).

Ответ: PQ = 3.