Задание 9 a) Решите уравнение 2 sin² x + 9√3 sin x − 15 = 0. n ∈ Z б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [7π/2 ; 5π].

Задание 9

а) Решение уравнения

Для решения уравнения 2 sin² x + 9√3 sin x − 15 = 0, введем замену переменной. Пусть y = sin x. Тогда уравнение примет вид квадратного:

2y² + 9√3 y − 15 = 0

Найдем дискриминант (D):

\( D = b² - 4ac \)

\( D = (9√3)² - 4 \cdot 2 \cdot (-15) \)

\( D = 81 \cdot 3 + 120 \)

\( D = 243 + 120 = 363 \)

Найдем корни квадратного уравнения:

\( y = \frac{-b ± \sqrt{D}}{2a} \)

\( y₁ = \frac{-9√3 + \sqrt{363}}{2 \cdot 2} = \frac{-9√3 + 11√3}{4} = \frac{2√3}{4} = \frac{√3}{2} \)

\( y₂ = \frac{-9√3 - \sqrt{363}}{2 \cdot 2} = \frac{-9√3 - 11√3}{4} = \frac{-20√3}{4} = -5√3 \)

Теперь вернемся к замене y = sin x:

1. sin x = √3/2

Это стандартное значение синуса. Решениями будут:

\( x = \frac{π}{3} + 2πn \) и \( x = \frac{2π}{3} + 2πn \), где n ∈ Z.

2. sin x = -5√3

Значение -5√3 приблизительно равно -8.66. Поскольку область значений синуса находится в интервале [-1, 1], данное уравнение не имеет решений.

б) Корни уравнения на отрезке [7π/2 ; 5π]

Рассмотрим найденные решения из пункта (а) и проверим, какие из них попадают в заданный отрезок [7π/2 ; 5π].

Отрезок [7π/2 ; 5π] соответствует [3.5π ; 5π].

Рассмотрим первую серию решений: x = π/3 + 2πn

Если n = 0, x = π/3 (не входит в отрезок).

Если n = 1, x = π/3 + 2π = 7π/3 (приблизительно 2.33π, не входит в отрезок).

Если n = 2, x = π/3 + 4π = 13π/3 (приблизительно 4.33π, входит в отрезок).

Если n = 3, x = π/3 + 6π = 19π/3 (приблизительно 6.33π, не входит в отрезок).

Рассмотрим вторую серию решений: x = 2π/3 + 2πn

Если n = 0, x = 2π/3 (не входит в отрезок).

Если n = 1, x = 2π/3 + 2π = 8π/3 (приблизительно 2.67π, не входит в отрезок).

Если n = 2, x = 2π/3 + 4π = 14π/3 (приблизительно 4.67π, входит в отрезок).

Если n = 3, x = 2π/3 + 6π = 20π/3 (приблизительно 6.67π, не входит в отрезок).

Таким образом, в заданный отрезок попадают корни:

x₁ = 13π/3

x₂ = 14π/3

Ответ:

а) x = π/3 + 2πn, x = 2π/3 + 2πn, где n ∈ Z

б) x = 13π/3, x = 14π/3