Задание 9 Решите неравенство 5 log2(4x) - 59 log2x - log2x9 <= 1.

Краткое пояснение:

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Найдем область допустимых значений (ОДЗ).
   Для логарифмов требуются положительные аргументы:
   1) \( 4x > 0 \) => \( x > 0 \)
   2) \( x > 0 \)
   Знаменатель не должен быть равен нулю:
   3) \( \log_{2}x - \log_{2}x^9
   eq 0 \)
   \( \log_{2}x - 9\log_{2}x
   eq 0 \)
   \( -8\log_{2}x
   eq 0 \)
   \( \log_{2}x
   eq 0 \)
   \( x
   eq 2^0 \)
   \( x
   eq 1 \)
   Объединяя условия, получаем ОДЗ: \( x \in (0; 1) \cup (1; \infty) \).
2. Шаг 2: Приведем неравенство к стандартному виду.
   Вынесем множитель из логарифма в числителе: \( \log_{2}(4x) = \log_{2}4 + \log_{2}x = 2 + \log_{2}x \).
   Упростим знаменатель: \( \log_{2}x - \log_{2}x^9 = \log_{2}x - 9\log_{2}x = -8\log_{2}x \).
   Подставим упрощенные выражения в неравенство:
   \[ \frac{5(2 + \log_{2}x) - 59}{-8\log_{2}x} \le 1 \]
   \[ \frac{10 + 5\log_{2}x - 59}{-8\log_{2}x} \le 1 \]
   \[ \frac{5\log_{2}x - 49}{-8\log_{2}x} \le 1 \]
3. Шаг 3: Решим рациональное неравенство.
   Перенесем 1 в левую часть:
   \[ \frac{5\log_{2}x - 49}{-8\log_{2}x} - 1 \le 0 \]
   \[ \frac{5\log_{2}x - 49 - (-8\log_{2}x)}{-8\log_{2}x} \le 0 \]
   \[ \frac{5\log_{2}x - 49 + 8\log_{2}x}{-8\log_{2}x} \le 0 \]
   \[ \frac{13\log_{2}x - 49}{-8\log_{2}x} \le 0 \]
   Умножим числитель и знаменатель на -1, изменив знак неравенства:
   \[ \frac{49 - 13\log_{2}x}{8\log_{2}x} \ge 0 \]
4. Шаг 4: Применим метод интервалов.
   Найдем корни числителя и знаменателя.
   Числитель: \( 49 - 13\log_{2}x = 0 \) => \( 13\log_{2}x = 49 \) => \( \log_{2}x = \frac{49}{13} \) => \( x = 2^{49/13} \)
   Знаменатель: \( 8\log_{2}x = 0 \) => \( \log_{2}x = 0 \) => \( x = 2^0 = 1 \)
   Отметим точки \( x = 1 \) (выколотая) и \( x = 2^{49/13} \) (закрашенная) на числовой оси.
   Значение \( 2^{49/13} \) примерно равно \( 2^{3.77} \), что больше 1.
   Проверим знаки на интервалах:
   Если \( x > 2^{49/13} \), то \( \log_{2}x > \frac{49}{13} \), \( 49 - 13\log_{2}x < 0 \), \( 8\log_{2}x > 0 \). Дробь отрицательная. Нам нужно \( \ge 0 \), поэтому этот интервал не подходит.
   Если \( 1 < x < 2^{49/13} \), то \( 0 < \log_{2}x < \frac{49}{13} \), \( 49 - 13\log_{2}x > 0 \), \( 8\log_{2}x > 0 \). Дробь положительная. Этот интервал подходит.
   Если \( 0 < x < 1 \), то \( \log_{2}x < 0 \), \( 49 - 13\log_{2}x > 0 \), \( 8\log_{2}x < 0 \). Дробь отрицательная. Этот интервал не подходит.
5. Шаг 5: Учтем ОДЗ.
   Решение метода интервалов: \( x \in (1; 2^{49/13}] \).
   ОДЗ: \( x \in (0; 1) \cup (1; \infty) \).
   Пересечение решения и ОДЗ дает:
   \( x \in (1; 2^{49/13}] \).

Ответ: \( (1; 2^{49/13}] \)