ЗАДАНИЕ 9 Введите ответ в числовое поле Дана функция распределения случайной величины Х. F(x) = { 0, если x ≤ 0, x^2, если 0 < x ≤ 1, 1, если x > 1. Найдите стандартное отклонение случайной величины Х. Дайте ответ в виде целого числа или конечной десятичной дроби, результат округлите до тысячных.

Решение:

1. Находим математическое ожидание (E[X]):
   \[ E[X] = \int_{-\infty}^{\infty} x f(x) dx \]
   Сначала найдем функцию плотности вероятности f(x), которая является производной от функции распределения F(x):
   \[ f(x) = F'(x) = \begin{cases} 0, & \text{если } x \le 0 \\ 2x, & \text{если } 0 < x \le 1 \\ 0, & \text{если } x > 1 \end{cases} \]
   Теперь вычислим математическое ожидание:
   \[ E[X] = \int_{0}^{1} x (2x) dx = \int_{0}^{1} 2x^2 dx = \left[ \frac{2x^3}{3} \right]_{0}^{1} = \frac{2(1)^3}{3} - \frac{2(0)^3}{3} = \frac{2}{3} \]
2. Находим математическое ожидание квадрата случайной величины (E[X²]):
   \[ E[X^2] = \int_{-\infty}^{\infty} x^2 f(x) dx \]
   \[ E[X^2] = \int_{0}^{1} x^2 (2x) dx = \int_{0}^{1} 2x^3 dx = \left[ \frac{2x^4}{4} \right]_{0}^{1} = \left[ \frac{x^4}{2} \right]_{0}^{1} = \frac{(1)^4}{2} - \frac{(0)^4}{2} = \frac{1}{2} \]
3. Находим дисперсию (D[X]):
   \[ D[X] = E[X^2] - (E[X])^2 \]
   \[ D[X] = \frac{1}{2} - \left( \frac{2}{3} \right)^2 = \frac{1}{2} - \frac{4}{9} = \frac{9 - 8}{18} = \frac{1}{18} \]
4. Находим стандартное отклонение (σ):
   \[ \sigma = \sqrt{D[X]} = \sqrt{\frac{1}{18}} = \frac{1}{\sqrt{18}} = \frac{1}{3\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{6} \]
5. Численное значение и округление:
   \[ \sigma \approx \frac{1.41421356}{6} \approx 0.23570226 \]
   Округляем до тысячных:
   \[ \sigma \approx 0.236 \]

Ответ: 0.236