Задание №1 а) Решите уравнение: cos(2x) = sin(-x) 6) Найдите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [0; п]. Задание №2 а) Решите уравнение 2sinx+√3 sin2x = 3,5sinx. 6) Определите корни уравнения, которые принадлежат промежутку [4π;5π].

Задание №1

а) Решим уравнение: cos(2x) = sin(3π/2 - x)

• Воспользуемся формулой приведения: sin(3π/2 - x) = -cos(x)
• Тогда уравнение примет вид: cos(2x) = -cos(x)
• Применим формулу двойного угла: 2cos²(x) - 1 = -cos(x)
• Перенесём все в одну сторону: 2cos²(x) + cos(x) - 1 = 0

Введём замену: y = cos(x). Получаем квадратное уравнение:

• 2y² + y - 1 = 0
• Решим квадратное уравнение:

D = 1² - 4 * 2 * (-1) = 1 + 8 = 9

y₁ = (-1 + 3) / 4 = 1/2

y₂ = (-1 - 3) / 4 = -1

Вернёмся к замене:

• cos(x) = 1/2 => x = ±arccos(1/2) + 2πk, k ∈ Z => x = ±π/3 + 2πk, k ∈ Z
• cos(x) = -1 => x = π + 2πn, n ∈ Z

б) Найдём корни, принадлежащие отрезку [0; π]:

• x = π/3 (при k = 0)
• x = π (при n = 0)

Ответ: а) x = ±π/3 + 2πk, k ∈ Z; x = π + 2πn, n ∈ Z; б) x = π/3, x = π

Задание №2

а) Решим уравнение: 2sin³(x) + √3 ⋅ sin(2x) = 3.5sin(x)

• Преобразуем sin(2x): 2sin³(x) + √3 ⋅ 2sin(x)cos(x) = 3.5sin(x)
• Перенесём все в одну сторону: 2sin³(x) + 2√3 sin(x)cos(x) - 3.5sin(x) = 0
• Вынесем sin(x) за скобки: sin(x)(2sin²(x) + 2√3 cos(x) - 3.5) = 0

Получаем два случая:

• sin(x) = 0 => x = πk, k ∈ Z
• 2sin²(x) + 2√3 cos(x) - 3.5 = 0

Преобразуем sin²(x) = 1 - cos²(x):

• 2(1 - cos²(x)) + 2√3 cos(x) - 3.5 = 0
• 2 - 2cos²(x) + 2√3 cos(x) - 3.5 = 0
• -2cos²(x) + 2√3 cos(x) - 1.5 = 0
• Умножим на -1: 2cos²(x) - 2√3 cos(x) + 1.5 = 0

Введём замену: y = cos(x). Получаем квадратное уравнение:

• 2y² - 2√3 y + 1.5 = 0
• Разделим на 2: y² - √3 y + 0.75 = 0
• Решим квадратное уравнение:

D = (-√3)² - 4 * 1 * 0.75 = 3 - 3 = 0

y = (√3) / 2

Вернёмся к замене:

• cos(x) = (√3) / 2 => x = ±arccos((√3) / 2) + 2πk, k ∈ Z => x = ±π/6 + 2πk, k ∈ Z

б) Определим корни, принадлежащие промежутку [4π; 5π]:

• Для x = πk: 4π ≤ πk ≤ 5π => 4 ≤ k ≤ 5 => k = 4, 5 => x = 4π, 5π
• Для x = π/6 + 2πk: 4π ≤ π/6 + 2πk ≤ 5π => 4 ≤ 1/6 + 2k ≤ 5 => 23/12 ≤ k ≤ 29/12 => k = 2 => x = π/6 + 4π = 25π/6
• Для x = -π/6 + 2πk: 4π ≤ -π/6 + 2πk ≤ 5π => 4 ≤ -1/6 + 2k ≤ 5 => 25/12 ≤ k ≤ 31/12 => k = 3 => x = -π/6 + 6π = 35π/6

Ответ: а) x = πk, k ∈ Z; x = ±π/6 + 2πk, k ∈ Z; б) x = 4π, 5π, 25π/6, 35π/6