Задание 1.1. а) Решите уравнение log2(4x²+28)=2+log√2 √5x²+1; б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие 9.7 отрезку [3:3

Решение задания 1.1.

a) Решим уравнение

$$log_2(4x^4+28)=2+log_{\sqrt{2}}\sqrt{5x^2+1}$$

Преобразуем правую часть уравнения, используя свойство логарифма $$log_{a^b}c = \frac{1}{b}log_ac$$:

$$log_{\sqrt{2}}\sqrt{5x^2+1} = log_{2^{\frac{1}{2}}}(5x^2+1)^{\frac{1}{2}} = \frac{1}{\frac{1}{2}}log_2(5x^2+1)^{\frac{1}{2}} = 2 \cdot \frac{1}{2} log_2(5x^2+1) = log_2(5x^2+1)$$.

Тогда исходное уравнение можно переписать в виде:

$$log_2(4x^4+28)=2+log_2(5x^2+1)$$

$$log_2(4x^4+28)-log_2(5x^2+1)=2$$

$$log_2(\frac{4x^4+28}{5x^2+1})=2$$

По определению логарифма:

$$\frac{4x^4+28}{5x^2+1}=2^2=4$$

$$4x^4+28 = 4(5x^2+1)$$

$$4x^4+28 = 20x^2+4$$

$$4x^4-20x^2+24 = 0$$

$$x^4-5x^2+6=0$$

Введем замену $$t=x^2$$, тогда получим квадратное уравнение:

$$t^2-5t+6=0$$

$$D = (-5)^2-4 \cdot 1 \cdot 6 = 25-24 = 1$$

$$t_1=\frac{5+1}{2}=3$$

$$t_2=\frac{5-1}{2}=2$$

Вернемся к замене:

1) $$x^2=3$$, тогда $$x_1=\sqrt{3}$$, $$x_2=-\sqrt{3}$$

2) $$x^2=2$$, тогда $$x_3=\sqrt{2}$$, $$x_4=-\sqrt{2}$$

б) Найдем корни уравнения, принадлежащие отрезку $$[-\frac{9}{5}; \frac{7}{5}]$$.

$$[-\frac{9}{5}; \frac{7}{5}] = [-1.8; 1.4]$$

$$x_1=\sqrt{3} \approx 1.73
otin [-1.8; 1.4]$$

$$x_2=-\sqrt{3} \approx -1.73 \in [-1.8; 1.4]$$

$$x_3=\sqrt{2} \approx 1.41
otin [-1.8; 1.4]$$

$$x_4=-\sqrt{2} \approx -1.41 \in [-1.8; 1.4]$$

Ответ: a) $$\pm \sqrt{3}; \pm \sqrt{2}$$; б) $$-\sqrt{3}; -\sqrt{2}$$