5'5 Задание 1.2. а) Решите уравнение log3(3x4+42)=1+log√3 √13x²+2; б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие 5. отрезку [-1; 2]. 4'

Решение задания 1.2.

a) Решим уравнение

$$log_3(3x^4+42)=1+log_{\sqrt{3}}\sqrt{13x^2+2}$$

Преобразуем правую часть уравнения, используя свойство логарифма $$log_{a^b}c = \frac{1}{b}log_ac$$:

$$log_{\sqrt{3}}\sqrt{13x^2+2} = log_{3^{\frac{1}{2}}}(13x^2+2)^{\frac{1}{2}} = \frac{1}{\frac{1}{2}}log_3(13x^2+2)^{\frac{1}{2}} = 2 \cdot \frac{1}{2} log_3(13x^2+2) = log_3(13x^2+2)$$.

Тогда исходное уравнение можно переписать в виде:

$$log_3(3x^4+42)=1+log_3(13x^2+2)$$

$$log_3(3x^4+42)-log_3(13x^2+2)=1$$

$$log_3(\frac{3x^4+42}{13x^2+2})=1$$

По определению логарифма:

$$\frac{3x^4+42}{13x^2+2}=3^1=3$$

$$3x^4+42 = 3(13x^2+2)$$

$$3x^4+42 = 39x^2+6$$

$$3x^4-39x^2+36 = 0$$

$$x^4-13x^2+12=0$$

Введем замену $$t=x^2$$, тогда получим квадратное уравнение:

$$t^2-13t+12=0$$

$$D = (-13)^2-4 \cdot 1 \cdot 12 = 169-48 = 121$$

$$t_1=\frac{13+11}{2}=12$$

$$t_2=\frac{13-11}{2}=1$$

Вернемся к замене:

1) $$x^2=12$$, тогда $$x_1=\sqrt{12}=2\sqrt{3}$$, $$x_2=-\sqrt{12}=-2\sqrt{3}$$

2) $$x^2=1$$, тогда $$x_3=1$$, $$x_4=-1$$

б) Найдем корни уравнения, принадлежащие отрезку $$[-\frac{5}{4}; 2]$$.

$$[-\frac{5}{4}; 2] = [-1.25; 2]$$

$$x_1=2\sqrt{3} \approx 3.46
otin [-1.25; 2]$$

$$x_2=-2\sqrt{3} \approx -3.46
otin [-1.25; 2]$$

$$x_3=1 \in [-1.25; 2]$$

$$x_4=-1 \in [-1.25; 2]$$

Ответ: a) $$1; -1; 2\sqrt{3}; -2\sqrt{3}$$; б) $$1; -1$$