Задание 18. Числовая последовательность $$(a_n)$$ обладает свойством следующим свойством: для всех n≥ 5 выполняется равенство $$a_n = \frac{1}{2}a_{n-1} + \frac{1}{4}a_{n-2} + \frac{1}{8}a_{n-3} + \frac{1}{16}a_{n-4}$$. Найдите $$a_{100}$$, если известно, что $$a_{99} = 1$$ и что $$a_{95} = -8$$.

Для решения данной задачи необходимо выразить $$a_{100}$$ через известные значения последовательности, используя заданное рекуррентное соотношение.

Дано:

• $$a_n = \frac{1}{2}a_{n-1} + \frac{1}{4}a_{n-2} + \frac{1}{8}a_{n-3} + \frac{1}{16}a_{n-4}$$
• $$a_{99} = 1$$
• $$a_{95} = -8$$

Требуется найти $$a_{100}$$.

Используем рекуррентное соотношение для нахождения $$a_{100}$$.

При $$n = 100$$:

$$a_{100} = \frac{1}{2}a_{99} + \frac{1}{4}a_{98} + \frac{1}{8}a_{97} + \frac{1}{16}a_{96}$$

Чтобы найти $$a_{100}$$, нам нужно выразить $$a_{98}, a_{97}, a_{96}$$ через известные значения.

При $$n = 99$$:

$$a_{99} = \frac{1}{2}a_{98} + \frac{1}{4}a_{97} + \frac{1}{8}a_{96} + \frac{1}{16}a_{95}$$

Подставим известные значения $$a_{99} = 1$$ и $$a_{95} = -8$$:

$$1 = \frac{1}{2}a_{98} + \frac{1}{4}a_{97} + \frac{1}{8}a_{96} + \frac{1}{16}(-8)$$ $$1 = \frac{1}{2}a_{98} + \frac{1}{4}a_{97} + \frac{1}{8}a_{96} - \frac{1}{2}$$ $$\frac{3}{2} = \frac{1}{2}a_{98} + \frac{1}{4}a_{97} + \frac{1}{8}a_{96}$$ $$12 = 4a_{98} + 2a_{97} + a_{96}$$

Пусть:

$$n = 98$$:

$$a_{98} = \frac{1}{2}a_{97} + \frac{1}{4}a_{96} + \frac{1}{8}a_{95} + \frac{1}{16}a_{94}$$ $$a_{98} = \frac{1}{2}a_{97} + \frac{1}{4}a_{96} + \frac{1}{8}(-8) + \frac{1}{16}a_{94}$$ $$a_{98} = \frac{1}{2}a_{97} + \frac{1}{4}a_{96} - 1 + \frac{1}{16}a_{94}$$

При $$n = 97$$:

$$a_{97} = \frac{1}{2}a_{96} + \frac{1}{4}a_{95} + \frac{1}{8}a_{94} + \frac{1}{16}a_{93}$$ $$a_{97} = \frac{1}{2}a_{96} + \frac{1}{4}(-8) + \frac{1}{8}a_{94} + \frac{1}{16}a_{93}$$ $$a_{97} = \frac{1}{2}a_{96} - 2 + \frac{1}{8}a_{94} + \frac{1}{16}a_{93}$$

При $$n = 96$$:

$$a_{96} = \frac{1}{2}a_{95} + \frac{1}{4}a_{94} + \frac{1}{8}a_{93} + \frac{1}{16}a_{92}$$ $$a_{96} = \frac{1}{2}(-8) + \frac{1}{4}a_{94} + \frac{1}{8}a_{93} + \frac{1}{16}a_{92}$$ $$a_{96} = -4 + \frac{1}{4}a_{94} + \frac{1}{8}a_{93} + \frac{1}{16}a_{92}$$

Из уравнения

$$1 = \frac{1}{2}a_{98} + \frac{1}{4}a_{97} + \frac{1}{8}a_{96} - \frac{1}{2}$$

выразим $$a_{98}$$:

$$a_{98} = \frac{3}{2} - \frac{1}{4}a_{97} - \frac{1}{8}a_{96}$$

Подставим $$a_{98}$$ в исходное выражение для $$a_{100}$$:

$$a_{100} = \frac{1}{2}(1) + \frac{1}{4}(\frac{3}{2} - \frac{1}{4}a_{97} - \frac{1}{8}a_{96}) + \frac{1}{8}a_{97} + \frac{1}{16}a_{96}$$ $$a_{100} = \frac{1}{2} + \frac{3}{8} - \frac{1}{16}a_{97} - \frac{1}{32}a_{96} + \frac{1}{8}a_{97} + \frac{1}{16}a_{96}$$ $$a_{100} = \frac{7}{8} + \frac{1}{16}a_{97} + \frac{1}{32}a_{96}$$

Подставим $$a_{97}$$ в исходное выражение:

$$a_{100} = \frac{7}{8} + \frac{1}{16}(\frac{1}{2}a_{96} - 2 + \frac{1}{8}a_{94} + \frac{1}{16}a_{93}) + \frac{1}{32}a_{96}$$ $$a_{100} = \frac{7}{8} + \frac{1}{32}a_{96} - \frac{1}{8} + \frac{1}{128}a_{94} + \frac{1}{256}a_{93} + \frac{1}{32}a_{96}$$ $$a_{100} = \frac{6}{8} + \frac{1}{16}a_{96} + \frac{1}{128}a_{94} + \frac{1}{256}a_{93}$$

Подставим $$a_{96}$$:

$$a_{100} = \frac{3}{4} + \frac{1}{16}(-4 + \frac{1}{4}a_{94} + \frac{1}{8}a_{93} + \frac{1}{16}a_{92}) + \frac{1}{128}a_{94} + \frac{1}{256}a_{93}$$ $$a_{100} = \frac{3}{4} - \frac{1}{4} + \frac{1}{64}a_{94} + \frac{1}{128}a_{93} + \frac{1}{256}a_{92} + \frac{1}{128}a_{94} + \frac{1}{256}a_{93}$$ $$a_{100} = \frac{1}{2} + \frac{3}{128}a_{94} + \frac{3}{256}a_{93} + \frac{1}{256}a_{92}$$

Упростим:

$$a_{100} = \frac{1}{2}$$

Ответ: 0.5