ЗАДАНИЕ №3 Дан равносторонний треугольник \(ABC\) со стороной \(AB = 4\), \(AM\) – его медиана. Найдите скалярное произведение векторов \(\vec{AB}\) и \(\vec{AM}\).

В равностороннем треугольнике медиана, проведенная к стороне, является также высотой и биссектрисой. Следовательно, \(\angle BAM = 30^{\circ}\). Длина медианы \(AM\) может быть найдена как высота равностороннего треугольника со стороной \(AB\):

$$AM = \frac{AB \cdot \sqrt{3}}{2} = \frac{4 \cdot \sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3}$$

Скалярное произведение векторов \(\vec{AB}\) и \(\vec{AM}\) равно произведению их длин на косинус угла между ними:

$$\vec{AB} \cdot \vec{AM} = |\vec{AB}| \cdot |\vec{AM}| \cdot \cos(30^{\circ})$$

Подставим известные значения:

$$\vec{AB} \cdot \vec{AM} = 4 \cdot 2\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 8\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 4 \cdot 3 = 12$$

Ответ: 12