Задание: Дана функция y =f(x). 1) Найти область определения функции. 2) Определить, является функция чётной или нечётной. 3) Найти нули функции и промежутки знакопостоянства. 1. f (x) = √x - 2 + √2 - x 2. f(x) = 2² + (½)ˣ 3. f (x) = log₂ (x - 2)

Решение:

1. f(x) = \( \sqrt{x - 2} + \sqrt{2 - x} \)

1. Область определения: Для того чтобы функция была определена, оба корня должны существовать.




• \( x - 2 \geq 0 \Rightarrow x \geq 2 \)


• \( 2 - x \geq 0 \Rightarrow x \leq 2 \)




2. Следовательно, единственное значение \( x \), при котором оба условия выполняются, это \( x = 2 \). Область определения: \( D(f) = \{2\} \).


3. Чётность/Нечётность: Так как область определения состоит из одной точки, мы не можем проверить условие \( f(-x) = f(x) \) или \( f(-x) = -f(x) \) для всех \( x \) из области определения. Однако, можно сказать, что функция является одновременно и чётной, и нечётной, поскольку \( f(2) = 0 \), и \( -f(2) = 0 \).


4. нули функции и промежутки знакопостоянства:




• При \( x = 2 \), \( f(2) = \sqrt{2 - 2} + \sqrt{2 - 2} = 0 + 0 = 0 \).




5. Нуль функции: \( x = 2 \).


6. Промежуток знакопостоянства: Так как функция определена только в точке \( x = 2 \) и равна там нулю, функция не принимает положительных или отрицательных значений.

2. f(x) = \( 2^2 + \left(\frac{1}{2}\right)^x \)

1. Область определения: Функция состоит из константы \( 2^2 \) и показательной функции \( \left(\frac{1}{2}\right)^x \), которая определена для всех действительных \( x \). Следовательно, область определения: \( D(f) = \mathbb{R} \).


2. Чётность/Нечётность: Проверим условие \( f(-x) = f(x) \) для чётности и \( f(-x) = -f(x) \) для нечётности.




• \( f(-x) = 2^2 + \left(\frac{1}{2}\right)^{-x} = 4 + 2^x \)




3. Так как \( f(-x) = 4 + 2^x \) не равно \( f(x) = 4 + \left(\frac{1}{2}\right)^x \) и не равно \( -f(x) = -(4 + \left(\frac{1}{2}\right)^x) \), функция не является ни чётной, ни нечётной.


4. нули функции и промежутки знакопостоянства:




• \( f(x) = 4 + \left(\frac{1}{2}\right)^x \). Поскольку \( \left(\frac{1}{2}\right)^x > 0 \) для всех \( x \), то \( f(x) > 4 \) для всех \( x \).




5. У функции нет нулей.


6. Функция всегда положительна. Промежутки знакопостоянства: \( (-\infty; +\infty) \).

3. f (x) = \( \log_2 (x - 2) \)

1. Область определения: Аргумент логарифма должен быть положительным.




• \( x - 2 > 0 \Rightarrow x > 2 \)




2. Область определения: \( D(f) = (2; +\infty) \).


3. Чётность/Нечётность: Область определения \( (2; +\infty) \) не является симметричной относительно нуля, поэтому функция не может быть ни чётной, ни нечётной.


4. нули функции и промежутки знакопостоянства:




• Нуль функции: \( \log_2 (x - 2) = 0 \Rightarrow x - 2 = 2^0 \Rightarrow x - 2 = 1 \Rightarrow x = 3 \).


• Промежутки знакопостоянства:




• Если \( x > 3 \), то \( x - 2 > 1 \), и \( \log_2 (x - 2) > 0 \).


• Если \( 2 < x < 3 \), то \( 0 < x - 2 < 1 \), и \( \log_2 (x - 2) < 0 \).






5. Функция положительна на \( (3; +\infty) \) и отрицательна на \( (2; 3) \).

Ответ:
1. D(f) = {2}. Функция одновременно и чётная, и нечётная. Нуль: x=2.
2. D(f) = ℝ. Функция не является ни чётной, ни нечётной. Нулей нет, функция положительна на всей области определения.
3. D(f) = (2; +∞). Функция не является ни чётной, ни нечётной. Нуль: x=3. Функция положительна на (3; +∞) и отрицательна на (2; 3).