ЗАДАНИЕ №6 Диагональ АС квадрата ABCD равна 4 см. Прямая, проходящая через точку А и перепендикулярная к прямой АС, пересекает прямые ВС и CD соответственно в точках М и N. Найдите ММ. MN =

Тип задания: геометрия, нахождение длины отрезка.

Дано: ABCD - квадрат, АС = 4 см, АN ⊥ АС, М ∈ ВС, N ∈ CD

Найти: MN

Решение:

Пусть сторона квадрата равна а. Так как АС - диагональ квадрата, то

$$AC = a\sqrt{2}$$

Тогда

$$a = \frac{AC}{\sqrt{2}} = \frac{4}{\sqrt{2}} = \frac{4\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2}$$

Δ АMC = Δ АNC (т.к. углы MAC и NAC равны 45°, углы AMC и ANC прямые, сторона AC общая), следовательно, MC = NC

Прямая MN перпендикулярна AC, значит, углы CAM и CNA равны 45°.

Следовательно, AMCN - квадрат, значит АМ = АN = АC = 4 см.

Рассмотрим треугольники АВМ и ADN.

Угол ВАМ = углу DAN = 45°, следовательно, треугольники равны, а значит BM = DN.

Так как ∠АМВ = 90°, то ∠АМС = 180° - 90° = 90°. Аналогично, ∠АNС = 90°.

Тогда ВС = ВМ + МС и CD = DN + NC.

Так как MC = NC = $$2\sqrt{2}$$, то ВМ = DN = $$2\sqrt{2}$$.

В прямоугольном треугольнике АВМ АМ = 4 см.

По теореме Пифагора

$$AM^2 = AB^2 + BM^2$$

$$16 = (2\sqrt{2})^2 + BM^2$$

$$16 = 8 + BM^2$$

$$BM^2 = 8$$

$$BM = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$$

$$MC = BM+BC=2\sqrt{2}+2\sqrt{2} = 4\sqrt{2}$$

Треугольники MCN - прямоугольный, тогда

$$MN^2=MC^2+NC^2=(4\sqrt{2})^2+(4\sqrt{2})^2=32+32=64$$ $$MN=\sqrt{64}=8$$

Ответ: MN = 8 см.