Задание: Для каждой функции: 1. Постройте график. 2. Укажите: область определения; область значений; нули функции; промежутки возрастания и убывания;

Функция 1:

y = -2x + 5

• График: Это линейная функция, график - прямая линия.
• Область определения (D(y)): ℝ (все действительные числа), так как функция определена для любого значения x.
• Область значений (E(y)): ℝ (все действительные числа), так как функция принимает все возможные значения y.
• Нули функции: Чтобы найти нули, приравниваем y к 0:

  \[ -2x + 5 = 0 \]

  \[ -2x = -5 \]

  \[ x = \frac{-5}{-2} = 2.5 \]

  Нуль функции: x = 2.5.
• Промежутки возрастания и убывания: Коэффициент при x равен -2 (отрицательный), значит, функция убывает на всей области определения.

Функция 2:

y = x² - 4x + 3

• График: Это квадратичная функция, график - парабола. Ветви параболы направлены вверх, так как коэффициент при x² равен 1 (положительный).
• Область определения (D(y)): ℝ (все действительные числа).
• Область значений (E(y)): Вершина параболы находится в точке x = -b/(2a) = -(-4)/(2*1) = 4/2 = 2. Значение y в вершине: y = 2² - 4*2 + 3 = 4 - 8 + 3 = -1. Так как ветви вверх, область значений: [-1; +∞).
• Нули функции: Решаем квадратное уравнение x² - 4x + 3 = 0. Дискриминант D = (-4)² - 4*1*3 = 16 - 12 = 4.

  \[ x_{1,2} = \frac{-(-4) \pm \sqrt{4}}{2*1} = \frac{4 \pm 2}{2} \]

  x₁ = (4 + 2) / 2 = 3

  x₂ = (4 - 2) / 2 = 1

  Нули функции: x = 1, x = 3.
• Промежутки возрастания и убывания: Функция убывает при x < 2 (до вершины) и возрастает при x > 2 (после вершины).

Функция 3:

y = 6/x + 1

• График: Это дробно-рациональная функция, график - гипербола.
• Область определения (D(y)): x ≠ 0, так как на ноль делить нельзя. D(y) = (-∞; 0) U (0; +∞).
• Область значений (E(y)): y ≠ 1, так как y = 1 является горизонтальной асимптотой. E(y) = (-∞; 1) U (1; +∞).
• Нули функции: Приравниваем y к 0:

  \[ \frac{6}{x} + 1 = 0 \]

  \[ \frac{6}{x} = -1 \]

  \[ 6 = -x \]

  \[ x = -6 \]

  Нуль функции: x = -6.
• Промежутки возрастания и убывания: Функция убывает на всей области определения.

Функция 4:

y = √x - 2

• График: Это функция квадратного корня.
• Область определения (D(y)): Выражение под корнем должно быть неотрицательным: x - 2 ≥ 0, следовательно, x ≥ 2. D(y) = [2; +∞).
• Область значений (E(y)): Минимальное значение y равно 0 (при x=2). Функция возрастает, поэтому E(y) = [0; +∞).
• Нули функции: Приравниваем y к 0:

  \[ \sqrt{x - 2} = 0 \]

  \[ x - 2 = 0 \]

  \[ x = 2 \]

  Нуль функции: x = 2.
• Промежутки возрастания и убывания: Функция возрастает на всей области определения [2; +∞).