Задание для всех задач: + Найдите L ДВА 2. A 70° A B Д 1. 3. Д A B 4. B 40 70° C K A Д C 5. 6. A Д A B B C 50° 30 7. Д M K A B 30 C K

Решение:

1. Рассмотрим треугольник ДАВ. Он является равнобедренным, так как ДА = ДВ. Угол при основании равнобедренного треугольника равен углу при основании, следовательно, ∠ДВА = ∠ДАВ = 70°. Сумма углов треугольника равна 180°, тогда ∠АДВ = 180° - ∠ДВА - ∠ДАВ = 180° - 70° - 70° = 40°. Ответ: ∠ДВА = 40°.
2. Рассмотрим треугольник АСД. Он является равнобедренным, так как АС = АД. Угол при основании равнобедренного треугольника равен углу при основании, следовательно, ∠АДС = ∠АСД = 70°. Сумма углов треугольника равна 180°, тогда ∠САД = 180° - ∠АСД - ∠АДС = 180° - 70° - 70° = 40°. Ответ: ∠САД = 40°.
3. Рассмотрим треугольник СДК. Известно, что ∠ВСД = 70°. Смежный угол равен 180°, тогда ∠ДСА = 180° - ∠ВСД = 180° - 70° = 110°. Сумма углов треугольника равна 180°, тогда ∠СДК + ∠ДКС = 180° - ∠ДСА = 180° - 110° = 70°. Так как ДВ = ВА, то треугольник ДВА - равнобедренный. Следовательно, углы при основании равны. Тогда ∠ВДК = ∠ДАК = 35°. Угол ДВА является внешним углом треугольника ВСК, следовательно, ∠ДВА = ∠ВСК + ∠СКВ. Отсюда ∠СКВ = ∠ДВА - ∠ВСК = 70° - 70° = 0°. Ответ: ∠СКВ = 0°.
4. Рассмотрим треугольник АВС. Он является равнобедренным, так как АД = ДС. В равнобедренном треугольнике высота является и медианой, и биссектрисой. Следовательно, ВД - биссектриса, а значит ∠АВД = ∠СВД = 40° : 2 = 20°. Сумма углов треугольника равна 180°, тогда ∠ВАС + ∠ВСА = 180° - ∠АВС = 180° - 40° = 140°. Так как треугольник равнобедренный, то углы при основании равны, следовательно, ∠ВАС = ∠ВСА = 140° : 2 = 70°. Ответ: ∠ВАС = 70°.
5. Рассмотрим треугольник ВАД. Он является равнобедренным, так как ВА = ВД. Угол при основании равнобедренного треугольника равен углу при основании, следовательно, ∠ВАД = ∠ВДA. Сумма углов треугольника равна 180°, тогда ∠ВАД + ∠ВДA = 180° - ∠АВД = 180° - 50° = 130°. ∠ВАД = ∠ВДA = 130° : 2 = 65°. ∠ВАС + ∠САД = ∠ВАД. ∠ВАС = ∠ВАД - ∠САД = 65° - 65° = 0°. Ответ: ∠ВАС = 0°.
6. Рассмотрим треугольник СДК. Он является равнобедренным, так как СМ = МК. В равнобедренном треугольнике высота является и медианой, и биссектрисой. Следовательно, ВМ - биссектриса, а значит ∠СВМ = ∠КВМ = 30° : 2 = 15°. Сумма углов треугольника равна 180°, тогда ∠ВСК = 180° - ∠СВК - ∠ВКС = 180° - 30° - 30° = 120°. Ответ: ∠ВСК = 120°.
7. Рассмотрим треугольник АДК. Он является равнобедренным, так как АС = СК. В равнобедренном треугольнике высота является и медианой, и биссектрисой. Следовательно, ВС - биссектриса, а значит ∠АВС = ∠КВС = 30° : 2 = 15°. Сумма углов треугольника равна 180°, тогда ∠ВАК = 180° - ∠АВК - ∠АКВ = 180° - 30° - 30° = 120°. Ответ: ∠ВАК = 120°.