Задание 3 Докажите, что в равных треугольниках высоты, проведённые к равным сторонам, равны.

Доказательство:

1. Рассмотрим два равных треугольника: \(\triangle ABC\) и \(\triangle A_1B_1C_1\). По условию, \(AB = A_1B_1\), \(BC = B_1C_1\), \(AC = A_1C_1\) (так как треугольники равны).

2. Проведём высоты \(BH\) к стороне \(AC\) в \(\triangle ABC\) и высоту \(B_1H_1\) к стороне \(A_1C_1\) в \(\triangle A_1B_1C_1\). Нужно доказать, что \(BH = B_1H_1\).

3. Площадь треугольника \(\triangle ABC\) можно выразить как:

   \[S_{\triangle ABC} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BH\]

   Аналогично, площадь треугольника \(\triangle A_1B_1C_1\) можно выразить как:

   \[S_{\triangle A_1B_1C_1} = \frac{1}{2} \cdot A_1C_1 \cdot B_1H_1\]

4. Так как \(\triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1\), то их площади равны:

   \[S_{\triangle ABC} = S_{\triangle A_1B_1C_1}\]

5. Поскольку \(AC = A_1C_1\) (по условию), можем записать:

   \[\frac{1}{2} \cdot AC \cdot BH = \frac{1}{2} \cdot A_1C_1 \cdot B_1H_1\]

   Умножим обе части уравнения на 2:

   \[AC \cdot BH = A_1C_1 \cdot B_1H_1\]

   Разделим обе части уравнения на \(AC\) (так как \(AC = A_1C_1\)):

   \[BH = B_1H_1\]

Таким образом, высоты, проведённые к равным сторонам в равных треугольниках, равны.

Проверка за 10 секунд: Убедились, что площади равных треугольников равны, и использовали равенство сторон для доказательства равенства высот.

Доп. профит: База: Равенство треугольников означает равенство всех соответствующих элементов, включая высоты, медианы и биссектрисы.