Задание 3 Докажите неравенство: a) 6m < (m + 3)²; 6) (q + 6)² > q(q + 12); B) p² +7 ≥ 14(p-3).

Краткое пояснение:

Разбираемся:

а) Докажем неравенство 6m < (m + 3)²:

1. Преобразуем правую часть: (m + 3)² = m² + 6m + 9
2. Теперь наше неравенство выглядит так: 6m < m² + 6m + 9
3. Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить: 0 < m² + 9
4. Так как m² всегда неотрицательно, а 9 положительно, то m² + 9 всегда больше нуля.

Вывод: Неравенство доказано.

б) Докажем неравенство (q + 6)² > q(q + 12):

1. Преобразуем левую часть: (q + 6)² = q² + 12q + 36
2. Преобразуем правую часть: q(q + 12) = q² + 12q
3. Теперь наше неравенство выглядит так: q² + 12q + 36 > q² + 12q
4. Сократим одинаковые члены: 36 > 0

Вывод: Неравенство доказано.

в) Докажем неравенство p² + 7 ≥ 14(p - 3):

1. Раскроем скобки в правой части: 14(p - 3) = 14p - 42
2. Теперь наше неравенство выглядит так: p² + 7 ≥ 14p - 42
3. Перенесем все члены в одну сторону: p² - 14p + 49 ≥ 0
4. Заметим, что p² - 14p + 49 это полный квадрат: (p - 7)² ≥ 0

Вывод: Так как квадрат любого числа неотрицателен, неравенство доказано.