Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
МатематикаЗадание 5 Монету подбрасывают 4 раза. Составьте закон распределения случайной величины Х числа выпавших решек. Задание 6 Игральный кубик бросают дважды. Составьте закон распределения случайной величины Х разности очков при обоих бросаниях кубика. Задание 7 Рабочий обслуживает два станка. Первый станок может потребовать наладки в течение часа с вероятностью 0,15, а второй с вероятностью 0,1, независимо друг от друга. Предполагается, что один станок не может в течение часа потребовать наладки более одного раза. Составьте закон распределения случайной величины X числа станков, потребовавших наладки в течение часа.
Ответ:
Привет! Разберёмся с этими задачками по теории вероятностей. Помогу тебе составить законы распределения случайных величин.
Задание 5
Смотри, тут всё просто: случайная величина \( X \) — это число выпавших решек. Она может принимать значения от 0 до 4.
Вероятность выпадения решки при одном броске равна \( p = 0.5 \), как и вероятность выпадения орла.
Используем формулу Бернулли: \( P(X = k) = C_n^k \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k} \), где \( n = 4 \) — число бросков, \( k \) — число решек.
-
\( P(X = 0) \) (нет решек):
\[ P(X = 0) = C_4^0 \cdot (0.5)^0 \cdot (0.5)^4 = 1 \cdot 1 \cdot 0.0625 = 0.0625 \]
-
\( P(X = 1) \) (одна решка):
\[ P(X = 1) = C_4^1 \cdot (0.5)^1 \cdot (0.5)^3 = 4 \cdot 0.5 \cdot 0.125 = 0.25 \]
-
\( P(X = 2) \) (две решки):
\[ P(X = 2) = C_4^2 \cdot (0.5)^2 \cdot (0.5)^2 = 6 \cdot 0.25 \cdot 0.25 = 0.375 \]
-
\( P(X = 3) \) (три решки):
\[ P(X = 3) = C_4^3 \cdot (0.5)^3 \cdot (0.5)^1 = 4 \cdot 0.125 \cdot 0.5 = 0.25 \]
-
\( P(X = 4) \) (четыре решки):
\[ P(X = 4) = C_4^4 \cdot (0.5)^4 \cdot (0.5)^0 = 1 \cdot 0.0625 \cdot 1 = 0.0625 \]
Закон распределения:
| \( X \) | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
|---|---|---|---|---|---|
| \( P(X) \) | 0.0625 | 0.25 | 0.375 | 0.25 | 0.0625 |
Задание 6
Случайная величина \( X \) — это разность очков. Она может принимать значения от 0 до 5.
Составим таблицу вероятностей:
- Разность 0: (1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (5,5), (6,6) — 6 вариантов.
- Разность 1: (1,2), (2,3), (3,4), (4,5), (5,6), (2,1), (3,2), (4,3), (5,4), (6,5) — 10 вариантов.
- Разность 2: (1,3), (2,4), (3,5), (4,6), (3,1), (4,2), (5,3), (6,4) — 8 вариантов.
- Разность 3: (1,4), (2,5), (3,6), (4,1), (5,2), (6,3) — 6 вариантов.
- Разность 4: (1,5), (2,6), (5,1), (6,2) — 4 варианта.
- Разность 5: (1,6), (6,1) — 2 варианта.
Всего вариантов: \( 6 \cdot 6 = 36 \)
Закон распределения:
| \( X \) | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| \( P(X) \) | \( \frac{6}{36} = \frac{1}{6} \) | \( \frac{10}{36} = \frac{5}{18} \) | \( \frac{8}{36} = \frac{2}{9} \) | \( \frac{6}{36} = \frac{1}{6} \) | \( \frac{4}{36} = \frac{1}{9} \) | \( \frac{2}{36} = \frac{1}{18} \) |
Задание 7
Случайная величина \( X \) — это число станков, потребовавших наладки. Она может принимать значения 0, 1 или 2.
Вероятность, что первому станку потребуется наладка: \( p_1 = 0.15 \)
Вероятность, что второму станку потребуется наладка: \( p_2 = 0.1 \)
-
\( P(X = 0) \) (ни одному станку не нужна наладка):
\[ P(X = 0) = (1 - p_1) \cdot (1 - p_2) = (1 - 0.15) \cdot (1 - 0.1) = 0.85 \cdot 0.9 = 0.765 \]
-
\( P(X = 1) \) (только одному станку нужна наладка):
\[ P(X = 1) = p_1 \cdot (1 - p_2) + (1 - p_1) \cdot p_2 = 0.15 \cdot 0.9 + 0.85 \cdot 0.1 = 0.135 + 0.085 = 0.22 \]
-
\( P(X = 2) \) (обоим станкам нужна наладка):
\[ P(X = 2) = p_1 \cdot p_2 = 0.15 \cdot 0.1 = 0.015 \]
Закон распределения:
| \( X \) | 0 | 1 | 2 |
|---|---|---|---|
| \( P(X) \) | 0.765 | 0.22 | 0.015 |
Проверка за 10 секунд: Убедись, что сумма вероятностей равна 1: \( 0.765 + 0.22 + 0.015 = 1 \)
Уровень Эксперт: Помни, что закон распределения случайной величины должен учитывать все возможные исходы и их вероятности. Всегда проверяй, чтобы сумма вероятностей была равна 1.
