Задание на дом. 1. Доказать, что в равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является высотой. 2. Докажите, что диагонали ромба взаимно перпендикулярны. 3. Треугольник АВС задан координатами своих вершин А(0;4), В(-3;5), C(-1;3). Найдите острый угол между медианой АМ и стороной АС.

Рассмотрим задания на дом.

1. Необходимо доказать, что в равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является высотой.

   Доказательство:

   Пусть дан равнобедренный треугольник ABC, где AB = BC, и медиана BM проведена к основанию AC. Требуется доказать, что BM также является высотой, то есть BM перпендикулярна AC.

   Так как BM - медиана, то AM = MC.

   Рассмотрим треугольники ABM и CBM:

   • AB = BC (по условию, треугольник равнобедренный)
   • AM = MC (BM - медиана)
   • BM - общая сторона

   Следовательно, треугольники ABM и CBM равны по третьему признаку равенства треугольников (по трем сторонам).

   Из равенства треугольников следует равенство соответствующих углов: ∠ABM = ∠CBM и ∠AMB = ∠CMB.

   Так как углы ∠AMB и ∠CMB смежные и равны, то каждый из них равен 90 градусов (180 / 2 = 90). Таким образом, BM перпендикулярна AC.

   Следовательно, медиана BM является высотой.

2. Необходимо доказать, что диагонали ромба взаимно перпендикулярны.

   Доказательство:

   Пусть дан ромб ABCD, где AB = BC = CD = DA. Диагонали AC и BD пересекаются в точке O.

   Рассмотрим треугольники AOB и AOD:

   • AB = AD (стороны ромба равны)
   • AO - общая сторона
   • BO = OD (диагонали ромба в точке пересечения делятся пополам)

   Следовательно, треугольники AOB и AOD равны по третьему признаку равенства треугольников (по трем сторонам).

   Из равенства треугольников следует равенство соответствующих углов: ∠AOB = ∠AOD.

   Так как углы ∠AOB и ∠AOD смежные и равны, то каждый из них равен 90 градусов (180 / 2 = 90). Таким образом, AC перпендикулярна BD.

   Следовательно, диагонали ромба взаимно перпендикулярны.

3. В треугольнике ABC с вершинами A(0;4), B(-3;5), C(-1;3) найдем острый угол между медианой AM и стороной AC.

   Для нахождения медианы AM найдем координаты точки M (середины стороны BC):

   $$M = (\frac{B_x + C_x}{2}, \frac{B_y + C_y}{2}) = (\frac{-3 + (-1)}{2}, \frac{5 + 3}{2}) = (\frac{-4}{2}, \frac{8}{2}) = (-2, 4)$$

   Координаты точки M: (-2, 4).

   Теперь найдем векторы AM и AC:

   $$AM = M - A = (-2 - 0, 4 - 4) = (-2, 0)$$ $$AC = C - A = (-1 - 0, 3 - 4) = (-1, -1)$$

   Найдем косинус угла между векторами AM и AC:

   $$cos(\theta) = \frac{AM \cdot AC}{|AM| \cdot |AC|} = \frac{(-2 \cdot -1) + (0 \cdot -1)}{\sqrt{(-2)^2 + 0^2} \cdot \sqrt{(-1)^2 + (-1)^2}} = \frac{2}{\sqrt{4} \cdot \sqrt{2}} = \frac{2}{2 \sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$

   Таким образом, cos(θ) =$$\frac{\sqrt{2}}{2}$$

   Угол θ, косинус которого равен $$\frac{\sqrt{2}}{2}$$, составляет 45 градусов.

   Следовательно, острый угол между медианой AM и стороной AC равен 45 градусам.

Ответ: 1. Доказательство приведено выше. 2. Доказательство приведено выше. 3. Угол между медианой AM и стороной AC равен 45 градусам.