Задание 1. На координатной плоскости изображены векторы а, в, сид. Найдите: a) (a+c)⋅(b−d) б) (a+b+c+d)² Задание 2. Найдите косинус угла между векторами АВ и CD на координатной плоскости

Задание 1

Давай сначала определим координаты векторов по рисунку:

• a = (2, 2)
• b = (-2, -2)
• c = (-1, 3)
• d = (1, -2)

а) (a+c)⋅(b−d)

Сначала найдем сумму векторов a и c, а также разность векторов b и d:

• a + c = (2 + (-1), 2 + 3) = (1, 5)
• b - d = (-2 - 1, -2 - (-2)) = (-3, 0)

Теперь найдем скалярное произведение векторов (a+c) и (b-d):

(a+c)⋅(b-d) = (1 * (-3)) + (5 * 0) = -3 + 0 = -3

б) (a+b+c+d)²

Сначала найдем сумму векторов a, b, c и d:

a + b + c + d = (2 + (-2) + (-1) + 1, 2 + (-2) + 3 + (-2)) = (0, 1)

Теперь возведем в квадрат длину вектора (a+b+c+d):

(a+b+c+d)² = (0² + 1²) = 0 + 1 = 1

Задание 2

Определим координаты точек A, B, C и D по рисунку:

• A = (-2, 3)
• B = (4, 5)
• C = (1, 3)
• D = (4, 2)

Найдем координаты векторов AB и CD:

• AB = (4 - (-2), 5 - 3) = (6, 2)
• CD = (4 - 1, 2 - 3) = (3, -1)

Теперь найдем косинус угла между векторами AB и CD по формуле:

cos(θ) = (AB⋅CD) / (|AB| * |CD|)

Сначала найдем скалярное произведение AB и CD:

AB⋅CD = (6 * 3) + (2 * (-1)) = 18 - 2 = 16

Затем найдем длины векторов AB и CD:

• |AB| = √(6² + 2²) = √(36 + 4) = √40 = 2√10
• |CD| = √(3² + (-1)²) = √(9 + 1) = √10

Теперь найдем косинус угла:

cos(θ) = 16 / (2√10 * √10) = 16 / (2 * 10) = 16 / 20 = 4 / 5 = 0.8

Ответ: -3; 1; 0.8