ЗАДАНИЕ №4 На отрезок АВ длины 10 наудачу брошено 4 точки. Найти вероятность того, что две точки будут находиться от точки А на расстоянии, меньшем 4, а две на расстоянии, большем 4. Предполагается, что вероятность попадания точки на отрезок пропорциональна длине отрезка и не зависит от его расположения.

Пусть L - длина отрезка AB, L = 10.

Вероятность того, что точка окажется на расстоянии меньше 4 от точки A, равна $$P_1 = \frac{4}{10} = 0.4$$.

Вероятность того, что точка окажется на расстоянии больше 4 от точки A, равна $$P_2 = \frac{10-4}{10} = \frac{6}{10} = 0.6$$.

У нас 4 точки, и нужно, чтобы 2 из них были на расстоянии меньше 4, а 2 - на расстоянии больше 4. Количество способов выбрать 2 точки из 4 равно $$C_4^2 = \frac{4!}{2!(4-2)!} = \frac{4!}{2!2!} = \frac{4 \cdot 3}{2 \cdot 1} = 6$$.

Вероятность того, что это произойдет, равна:

$$P = C_4^2 \cdot P_1^2 \cdot P_2^2 = 6 \cdot (0.4)^2 \cdot (0.6)^2 = 6 \cdot 0.16 \cdot 0.36 = 6 \cdot 0.0576 = 0.3456$$

$$P = 6 \cdot \left(\frac{4}{10}\right)^2 \cdot \left(\frac{6}{10}\right)^2 = 6 \cdot \frac{16}{100} \cdot \frac{36}{100} = 6 \cdot \frac{576}{10000} = \frac{3456}{10000} = 0.3456$$

Ответ: $$6 \cdot 0.4^2 \cdot 0.6^2$$